Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm liên tục trên R và có đồ thị y = f'(x)  như hình vẽ bên. Đặt g(x)=f(x-m) +12(x-m-1)2 + 2025, với m là tham số thực. Gọi S là tập hợp các giá trị nguyên dương của m để hàm số y = g(x) đồng biến trên khoảng (5;6). Tổng tất cả các phần tử trong S bằng bao nhiêu? (Nhập đáp án vào ô trống)

Đáp án:  ___

 

Đáp án đúng là "14"

Phương pháp giải

phương pháp đổi biến số

Lời giải

Ta có : \(g'\left( x \right) = f'\left( {x - m} \right) - \left( {x - m - 1} \right)\)
\(g'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow f'\left( {x - m} \right) = x - m - 1\)
Đặt: \(t = x - m \Rightarrow f'\left( t \right) = t - 1\)
Khi đó nghiệm của phương trình là hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số \(y = f'\left( t \right)\) và đường thẳng \(y = t - 1\)

Dựa vào đồ thị ta được \(f'\left( t \right) = t - 1 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{t =  - 1}\\{t = 1}\\{1 = 3}\end{array}} \right.\)
Bảng xét dấu của \(g'\left( t \right)\)

​

Từ bảng xét dấu ta thấy hàm số \(g\left( t \right)\) đồng biến trên khoảng \(\left( { - 1;1} \right)\) và \(\left( {3; + \infty } \right)\)
Hay: \(\left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{ - 1 < t < 1}\\{t > 3}\end{array} \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{ - 1 < x - m < 1}\\{x - m > 3}\end{array} \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{m - 1 < x < m + 1}\\{x > m + 3}\end{array}} \right.} \right.} \right.\)
Để hàm số \(g\left( x \right)\) đồng biến trên khoảng \(\left( {5;6} \right)\) thì \(\left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{m - 1 \le 5 \le m + 1}\\{m + 3 \le 5 < 6}\end{array} \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{5 \le m \le 6}\\{m \le 2}\end{array}} \right.} \right.\)
Vì \(m\) là các số nguyên dương nên \(S = \left\{ {1;2;5;6} \right\}\)
Vậy tổng tất cả các phần tử của \(S\) là : 14