Để đo chu kì bán rã của một chất phóng xạ người ta dùng máy đếm xung bắt đầu đếm từ thời điểm \({t_0} = 0\). Đến thời điểm \({t_1} = 12\) giờ, máy đếm được \(\Delta {N_1}\) hạt bị phân rã. Đến thời điểm \({t_2} = 3{t_1} = 36\) giờ, máy đếm được \(\Delta {N_2}\) hạt đã bị phân rã. Biết \(\frac{{\Delta {N_1}}}{{\Delta {N_2}}} = \frac{4}{7}\), tìm chu kì bán rã của chất phóng xạ trên?

Đáp án đúng là C

Phương pháp giải
Lập bảng biến thiên của hàm số \(g\left( x \right) = f\left( {x - 2} \right) + \frac{{{x^3}}}{3} - \frac{7}{2}{x^2} + 12x + 1\)

Lời giải

Xét hàm số \(g\left( x \right) = f\left( {x - 2} \right) + \frac{{{x^3}}}{3} - \frac{7}{2}{x^2} + 12x + 1\)
\(g'\left( x \right) = f'\left( {x - 2} \right) + {x^2} - 7x + 12\)
Để hàm số đồng biến :
\( \Rightarrow g'\left( x \right) > 0 \Leftrightarrow f'\left( {x - 2} \right) + {x^2} - 7x + 12 > 0 \Leftrightarrow f'\left( {x - 2} \right) > - {x^2} + 7x - 12\)
\( \Leftrightarrow f'\left( {x - 2} \right) > - \left( {x - 2} \right)\left( {x - 2 - 3} \right) - 2\)
Đặt \(t = x - 2 \Rightarrow f'\left( t \right) > - t\left( {t - 3} \right) - 2 \Leftrightarrow f'\left( t \right) > - {t^2} + 3t - 2\)
Vẽ đồ thị hàm số: \(h\left( t \right) = - {t^2} + 3t - 2\)

Dựa vào tương giao hai đồ thị ta thấy
\(f'\left( t \right) > - {t^2} + 3t - 2 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{a < t < 1,( - 2 < a < - 1)}\\{t > 2}\end{array}} \right.\)
\( \Rightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{a < x - 2 < 1}\\{x - 2 > 2}\end{array} \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{a + 2 < x < 3}\\{x > 4}\end{array}} \right.} \right.\)
Vậy hàm số đồng biến trên các khoảng \(\left( {a + 2;3} \right),( - 2 < a < - 1)\) và \(\left( {4;7} \right)\).