Cho hàm số \(y = \frac{{x + 1}}{{x - 1}}\) có đồ thị \(\left( C \right)\) và đường thẳng \(d:y = x + m\). Gọi \(S\) là tập hợp các giá trị của \(m\) để \(d\) cắt \(\left( C \right)\) tại 2 điểm phân biệt có hoành độ \({x_1},{x_2}\) thỏa mãn \(x_1^2 + x_2^2 = 9\). Tổng các phần tử của tập hợp \(S\) là:

 

Đáp án đúng là B

Phương pháp giải

Biện luận số nghiệm của phương trì̀hh hoành độ giao điểm, ứng dụng định lý Viet

Lời giải

Phương trình hoành độ giao điểm:

\(\frac{{x + 1}}{{x - 1}} = x + m \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x \ne 1}\\{g\left( x \right) = {x^2} + \left( {m - 2} \right)x - m - 1 = 0\left( 1 \right)}\end{array}} \right.\)

Để đồ thị \(\left( C \right)\) cắt \(d\) tại 2 điểm phân biệt \( \Leftrightarrow g\left( x \right) = 0\) có 2 nghiệm phân biệt khác 1.

\( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{g\left( 1 \right) = - 2 \ne 0}\\{{\rm{\Delta }} = {{(m - 2)}^2} + 4\left( {m + 1} \right) > 0}\end{array}} \right.\) (*)

Khi đó phương trình \(g\left( x \right) = 0\) có hai nghiệm \({x_1},{x_2}\)

Theo định lý Viet ta có: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{x_1} + {x_2} = 2 - m}\\{{x_1}.{x_2} = - m - 1}\end{array}} \right.\)

Ta có:

\(x_1^2 + x_2^2 = {\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^2} - 2{x_1}.{x_2} = {(2 - m)^2} + 2\left( {m + 1} \right) = {m^2} - 2m + 6 = 9 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{m = 3}\\{m = - 1}\end{array}} \right.\) thỏa mãn (*)

Vậy \(S = \left\{ {3; - 1} \right\} \Rightarrow T = 2\)