Cho khối chóp S. ABCD có đáy là hình bình hành, AB = 3, AD = 4, $\widehat{BAD }= 120°$. Cạnh bên$SA = 2\sqrt{3}$ vuông góc với mặt phẳng đáy. Gọi M, N, P ần lượt là trung điểm các cạnh SA, AD, BC. Tính góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (MNP). (Nhập đáp án vào ô trống)

Đáp án:  ___

 

Đáp án đúng là "45"

Phương pháp giải

Sử dụng khoảng cách

Lời giải

​

Ta có: \(\left( {SAD} \right) \cap \left( {SBC} \right) = Sx//AD//BC\)

Gọi \(I\) là trung điểm \(SB \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{MI//NP//AB}\\{MI = \frac{{NP}}{2}}\end{array}} \right.\)

Dễ dàng chứng minh được \(IP,MN,Sx\) đồng quy tại \(J\). Như vậy \(I\) là trung điểm của \(JP,M\) là trung điểm \(JN\).

Gọi \(\alpha \) là góc giữa hai mặt phẳng: \(\left( {SBC} \right)\) và \(\left( {MNP} \right) \Rightarrow {\rm{sin}}\alpha  = \frac{{d\left( {M,\left( {SBC} \right)} \right)}}{{d\left( {M,IP} \right)}}\).

\(d\left( {M,\left( {SBC} \right)} \right) = \frac{1}{2}d\left( {A,\left( {SBC} \right)} \right)\)

Hạ \(AK \bot BC,AE \bot SK \Rightarrow AE \bot \left( {SBC} \right) \Rightarrow d\left( {A,\left( {SBC} \right)} \right) = AE\)

\(AK = AB.{\rm{sin}}\widehat {ABK} = 3.{\rm{sin}}{60^ \circ } = \frac{{3\sqrt 3 }}{2}\)

Xét

\({\rm{\Delta }}SAK:\frac{1}{{A{E^2}}} = \frac{1}{{A{S^2}}} + \frac{1}{{A{K^2}}} = \frac{1}{{12}} + \frac{4}{{27}} = \frac{{75}}{{324}} \Rightarrow AE = \frac{{6\sqrt 3 }}{5} \Rightarrow d\left( {M,\left( {SBC} \right)} \right) = \frac{{3\sqrt 3 }}{5}\)

Ta có: \(d\left( {M,PI} \right) = \frac{1}{2}d\left( {N,PI} \right)\)

Xét \(\Delta ABC\) có: \(A{C^2} = A{B^2} + C{B^2} - 2AB.BC.{\rm{cos}}{60^ \circ } = 13 \Rightarrow AC = \sqrt {13} \)

\(JP = 2IP = SC = \sqrt {13 + 12}  = 55,JN = 2MN = SD = 2\sqrt 7 ,PN = AB = 3\)

\( \Rightarrow {S_{\Delta JPN}} = 3\sqrt 6 \)

Mà \({S_{JPN}} = \frac{1}{2}d\left( {N,JP} \right).JP = \frac{{6\sqrt 6 }}{5} \Rightarrow d\left( {M,IP} \right) = \frac{{3\sqrt 6 }}{5}\)

Vậy \({\rm{sin}}\alpha  = \frac{{\sqrt 2 }}{2} \Rightarrow \alpha  = {45^ \circ }\)