Trong không gian hệ tọa độ \(Oxyz\), gọi \(M,N\) là các điểm bất kì lần lượt thuộc \({{\rm{\Delta }}_1}:\frac{{x - 2}}{{ - 1}} = \frac{{y - 1}}{2} = \frac{{z - 2}}{{ - 1}}\) và \({{\rm{\Delta }}_2}:\frac{{x - 1}}{2} = \frac{y}{{ - 1}} = \frac{{z - 1}}{{ - 1}}\). Tính độ dài ngắn nhất của đoạn \(MN\)?

 

Đáp án đúng là B

Phương pháp giải

Kiểm tra vị trí tương đối của hai đường thẳng, sau đó xác định đoạn vuông góc chung của chúng

Lời giải

Kiểm tra được \({{\rm{\Delta }}_1}\) và \({{\rm{\Delta }}_2}\) chéo nhau. Độ dài ngắn nhất của đoạn thẳng \(MN\) là khoảng cách giữa hai đường thẳng \({{\rm{\Delta }}_1}\) và \({{\rm{\Delta }}_2}\)

Đường thẳng \({{\rm{\Delta }}_1}\) có một vecto chỉ phương là \(\overrightarrow {{u_1}} = \left( { - 1;2; - 1} \right)\).

Đường thẳng \({{\rm{\Delta }}_2}\) có một vecto chỉ phương là \(\overrightarrow {{u_2}} = \left( {2; - 1; - 1} \right)\).

Chọn \(A\left( {2;1;2} \right) \in {{\rm{\Delta }}_1},B\left( {1;0;1} \right) \in {{\rm{\Delta }}_2} \Rightarrow \overrightarrow {AB} = \left( { - 1; - 1; - 1} \right)\)

\( \Rightarrow d = \frac{{\left| {\overrightarrow {AB} .\left[ {\overrightarrow {{u_1}} ,\overrightarrow {{u_2}} } \right]} \right|}}{{\left| {\left[ {\overrightarrow {{u_1}} ,\overrightarrow {{u_2}} } \right]} \right|}} = \sqrt 3 \Rightarrow M{N_{{\rm{min}}}} = \sqrt 3 \)