Số các giá trị nguyên của tham số m thuộc [-20;20] để đồ thị (C) của hàm số $y = \frac{x+3}{x+1}$ cắt đường thẳng d: y = x-m tại hai điểm phân biệt thỏa mãn góc AOB  tù, với O là gốc tọa độ.(nhập đáp án vào ô trống)

Đáp án:  ___

 

Đáp án đúng là "23"

Phương pháp giải

Xét phương trình hoành độ giao điểm, ứng dụng viet

Lời giải

Phương trình hoành độ giao điểm:

\(x - m = \frac{{x + 3}}{{x + 1}} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x \ne 1}\\{\left( {x - m} \right)\left( {x + 1} \right) = x + 3}\end{array}} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x \ne  - 1}\\{g\left( x \right) = {x^2} - mx - m - 3 = 0}\end{array}} \right.\)

Ta có \(d\) cắt \(\left( C \right)\) tại hai điểm phân biệt \( \Leftrightarrow g\left( x \right)\) có 2 nghiệm phân biệt khác -1

\( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{\rm{\Delta }} = {m^2} - 4\left( { - m - 3} \right) > 0}\\{g\left( { - 1} \right) = \left( { - 1} \right) - m\left( { - 1} \right) - m - 3 \ne 0}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{{(m + 2)}^2} + 8 > 0}\\{m \in \mathbb{R}}\end{array}} \right.} \right.\)\( \Rightarrow m \in \mathbb{R}\) (*)

Do \(A,B \in d \Rightarrow A\left( {{x_1},{x_1} - m} \right),B\left( {{x_1},{x_2} - m} \right)\) với \({x_1},{x_2}\) là 2 nghiệm của \(g\left( x \right) = 0\)

Theo hệ thức Viet, ta có: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{x_1} + {x_2} = m}\\{{x_1}.{x_2} =  - m - 3}\end{array}} \right.\)

Khi đó:

\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{\overrightarrow {OA}  = \left( {{x_1},{x_1} - m} \right)}\\{\overrightarrow {OB}  = \left( {{x_2},{x_2} - m} \right)}\end{array} \Rightarrow \overrightarrow {OA} .\overrightarrow {OB}  = {x_1}.{x_2} + \left( {{x_1} - m} \right)\left( {{x_2} - m} \right)} \right.\)

\( = 2{x_1}{x_2} - m\left( {{x_1} + {x_2}} \right) + {m^2} =  - 2\left( {m + 3} \right) - {m^2} + {m^2} =  - 2\left( {m + 3} \right)\)

Do \(\widehat {AOB}\) tù nên

\(\cos \widehat {AOB} = \frac{{\overrightarrow {OA} .\overrightarrow {OB} }}{{OA.OB}} < 0 \Leftrightarrow \overrightarrow {OA} .\overrightarrow {OB}  < 0 \Leftrightarrow  - 2\left( {m + 3} \right) < 0 \Leftrightarrow m >  - 3\)

Kết hợp \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{m \in \mathbb{Z}}\\{m \in \left[ { - 20;20} \right]}\end{array} \Rightarrow } \right.\) có 23 giá trị của \(m\)