Cho điểm các \(A\left( {a;0;0} \right),B\left( {0;b;0} \right),C\left( {0;0;c} \right)\) với: \(a,b,c > 0\) và \(\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} = 2\). Tìm giá trị nhỏ nhất của bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện \(OABC\)?
A. \(\frac{{3\sqrt 3 }}{2}\).
B. \(3\sqrt 3 \).
C. \(\frac{{3\sqrt 3 }}{3}\).
D. \(\frac{{3\sqrt 3 }}{4}\).
Quảng cáo
Trả lời:
Giải bởi Vietjack
Đáp án đúng là D
Phương pháp giải
Xác định phương trình mặt cầu, từ đó xác định tọa độ tâm và bán kính, áp dụng bất đẳng thức Cauchy
Lời giải
Giả sử mặt cầu \(\left( S \right)\) ngoại tiếp hình chóp \(OABC\) có phương trình:
\({x^2} + {y^2} + {z^2} - 2mx - 2ny - 2pz + q = 0,{m^2} + {n^2} + {p^2} - q > 0\)
Thay tọa độ các điểm \(O,A,B,C\) vào phương trình mặt cầu \(\left( S \right)\) ta có:
\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{a^2} - 2ma + q = 0}\\{{b^2} - 2nb + q = 0}\\{{c^2} - 2cp + q = 0}\\{q = 0}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{m = \frac{a}{2},n = \frac{b}{2}}\\{p = \frac{c}{2},q = 0}\end{array}} \right.} \right.\)
Tâm của mặt cầu: \(I\left( {\frac{a}{2};\frac{b}{2};\frac{c}{2}} \right) \Rightarrow \) bán kính mặt cầu: \(R = \frac{1}{2}\sqrt {{a^2} + {b^2} + {c^2}} \)
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có: \({a^2} + \frac{{27}}{{8a}} + \frac{{27}}{{8a}} \ge \frac{{27}}{4} \Leftrightarrow {a^2} + \frac{{27}}{{4a}} \ge \frac{{27}}{4}\)
Tương tự ta có: \({b^2} + \frac{{27}}{{4b}} \ge \frac{{27}}{4},{c^2} + \frac{{27}}{{4c}} \ge \frac{{27}}{4}\)
Cộng ba bất đẳng thức ta được:
\({a^2} + {b^2} + {c^2} + \frac{{27}}{4}\left( {\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c}} \right) \ge \frac{{81}}{4} \Rightarrow {a^2} + {b^2} + {c^2} \ge \frac{{27}}{4} \Rightarrow R \ge \frac{{3\sqrt 3 }}{4}\)
Bất đẳng thức xảy \({\rm{ra}} \Leftrightarrow a = b = c = \frac{3}{2}\)
Vậy \({R_{{\rm{min}}}} = \frac{{3\sqrt 3 }}{4}\)
Hot: 1000+ Đề thi giữa kì 2 file word cấu trúc mới 2026 Toán, Văn, Anh... lớp 1-12 (chỉ từ 60k). Tải ngay
Sách thầy cô Vietjack biên soạn:
- Tuyển tập 30 đề thi đánh giá năng lực Đại học Quốc gia TP Hồ Chí Minh (2 cuốn) ( 140.000₫ )
- Tuyển tập 15 đề thi Đánh giá tư duy Đại học Bách Khoa Hà Nội 2025 (Tập 1) ( 39.000₫ )
- Tuyển tập 30 đề thi đánh giá năng lực Đại học Quốc gia Hà Nội 2025 (Tập 1) ( 39.000₫ )
- Tuyển tập 30 đề thi đánh giá năng lực Đại học Quốc gia Hà Nội, TP Hồ Chí Minh (2 cuốn) ( 150.000₫ )
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Câu 1
A. Các quốc gia xuất siêu là Ma-lai-xi-a, Xin-ga-po, Thái Lan.
B. Các quốc gia xuất siêu là Ma-lai-xi-a, Phi-lip-pin, Xin-ga-po.
C. Các quốc gia nhập siêu là Ma-lai-xi-a, Xin-ga-po, Phi-lip-pin.
D. Các quốc gia nhập siêu là Ma-lai-xi-a, Xin-ga-po, Thái Lan.
Lời giải
Đáp án đúng là D
Phương pháp giải
Nhận xét bảng số liệu và công thức tính cán cân xuất nhập khẩu.
Lời giải
- Cán cân xuất nhập khẩu = xuất khẩu – nhập khẩu
+ Nếu cán cân xuất nhập khẩu > 0 => xuất siêu.
+ Nếu cán cân xuất nhập khẩu < 0 => nhập siêu.
=> Nhận xét đúng là: Các quốc gia nhập siêu là Ma-lai-xi-a, Xin-ga-po, Thái Lan vì đây là những quốc gia có giá trị xuất khẩu < giá trị nhập khẩu.
Câu 2
A. 5,4.105 (N/m2)
B. 5,4.105 (atm)
C. 5,4.106 (N/m2)
D. 5,4.107 (atm)
Lời giải
Đáp án đúng là A
Phương pháp giải
Sử dụng công thức tính số mol.
Vận dụng phương trình Clapeyron: pV = nRT
Vận dụng công thức tính nhiệt lượng: Q = mcΔt
Sử dụng phương trình cân bằng nhiệt: Qtỏa = Qthu
Lời giải
- Số mol ban đầu của \({H_2}\) là: \({n_1} = \frac{5}{2}\); số mol ban đầu của \({O_2}\) là: \({n_2} = \frac{{12}}{{32}} = \frac{3}{8}\)
- Phương trình phản ứng: \({{\rm{O}}_2} + 2{{\rm{H}}_2} \to 2{{\rm{H}}_2}{\rm{O}}\)
Như vậy, cứ \(1\;{\rm{mol}}{{\rm{O}}_2}\) kết hợp với \(2\;{\rm{mol}}{{\rm{H}}_2}\) tạo thành \(2\;{\rm{mol}}{{\rm{H}}_2}{\rm{O}}\)
Suy ra: \(\frac{3}{8}\) mol \({{\rm{O}}_2}\) kết hợp với \(\frac{6}{8}\) mol \({{\rm{H}}_2}\) tạo thành \(\frac{6}{8}\;{\rm{mol}}{{\rm{H}}_2}{\rm{O}}\)
Vì \({n_1} = \frac{5}{2} > \frac{6}{8}\) nên \({O_2}\) tham gia phản ứng hết và còn dư \({H_2}\).
- Số mol \({H_2}\) còn dư là: \({n_3} = \frac{5}{2} - \frac{6}{8} = \frac{7}{4}\)
- Số mol \({{\rm{H}}_2}{\rm{O}}\) được tạo thành là: \({n_4} = \frac{6}{8} = \frac{3}{4}\)
Gọi \(T\) (và t ) là nhiệt độ của hỗn hợp sau phản ứng. Ta có:
+ Áp suất riêng phần của khí \({H_2}\) còn dư sau phản ứng là: \({p_1} = \frac{{{n_3}RT}}{V}\)
+ Áp suất riêng phần của hơi nước tạo thành sau phản ứng là: \({p_2} = \frac{{{n_4}RT}}{V}\)
+ Áp suất của hỗn hợp khí trong bình sau phản ứng là:
\(p = {p_1} + {p_2} = \left( {{n_3} + {n_4}} \right)\frac{{RT}}{V} = \left( {\frac{7}{4} + \frac{3}{4}} \right)\frac{{RT}}{V} = \frac{{5RT}}{{2V}}\) (1)
- Gọi Q là nhiệt lượng tỏa ra sau khi đốt cháy khí trong bình (tạo thành \(\frac{3}{4}{\mathop{\rm mol}\nolimits} \,\,{H_2}{\rm{O}}\)):
\(Q = 2,{4.10^5}{n_4} = 2,{4.10^5}.\frac{3}{4} = 1,{8.10^5}J\)
- Gọi \[{m_1},{m_2}\] là khối lượng của \({H_2}\) và hơi nước sau khi phản ứng, ta có:
\({m_1} = \frac{7}{4}.2 = 3,5g;\,\,{m_2} = \frac{3}{4}.18 = 13,5g\)
- Nhiệt lượng do khí \({H_2}\) và hơi nước thu vào sau phản ứng:
\(Q' = {Q_1} + {Q_2} = \left( {{c_1}{m_1} + {c_2}{m_2}} \right)\left( {t - {t_0}} \right)\) (2)
\( \Rightarrow Q' = (14,3.3,5 + 2,1.13,5)(t - 20) = 78,4(t - 20) = 78,4t - 1568J\)
- Phương trình cân bằng nhiệt : Q′ = Q
\( \Leftrightarrow 78,4t - 1568 = 1,{8.10^5} \Rightarrow t = {2316^\circ }{\rm{C}}\) hay \({\rm{T }} = 2589K\)
- Thay \(T = 2589\;{\rm{K}};R = 8,31(\;{\rm{J/mol}}.{\rm{K}});V = {100.10^{ - 3}} = 0,1\;{{\rm{m}}^3}\) vào (1) ta được:
\(p = \frac{{5.8,31.2589}}{{2.0,1}} = 5,{4.10^5}\left( {{\rm{N/}}{{\rm{m}}^2}} \right)\)
Vậy: Áp suất trong bình sau phản ứng là \(5,{4.10^5}\left( {{\rm{N/}}{{\rm{m}}^2}} \right)\)
Câu 3
A. tăng dần từ xích đạo về cực
B. giảm dần từ chí tuyến về hai phía.
C. giảm dần từ xích đạo về cực.
D. không có sự thay đổi nhiều.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Câu 4
A. \(\left( { - 2;0} \right)\).
B. \(\left( {3;5} \right)\).
C. \(\left( {4;7} \right)\).
D. \(\left( { - 4; - 3} \right)\)
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Câu 5
A. (I), (II), (III)
B. (II), (III), (IV)
C. (I), (III), (IV)
D. (I), (II), (IV)
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Câu 7
A. Giữ nguyên áp suất, nếu tăng nhiệt độ hệ chuyển thành thể hơi.
B. Giữ nguyên áp suất, nếu giảm nhiệt độ, hệ chuyển thành thể rắn.
C. Giữ nguyên nhiệt độ, tăng áp suất, hệ chuyển thành thể lỏng.
D. Giữ nguyên nhiệt độ, giảm áp suất, hệ chuyển thành thể rắn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Nhắn tin Zalo
Hỏi bài tập