Cho điểm các \(A\left( {a;0;0} \right),B\left( {0;b;0} \right),C\left( {0;0;c} \right)\) với: \(a,b,c > 0\) và \(\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} = 2\). Tìm giá trị nhỏ nhất của bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện \(OABC\)?

Đáp án đúng là D

Phương pháp giải

Xác định phương trình mặt cầu, từ đó xác định tọa độ tâm và bán kính, áp dụng bất đẳng thức Cauchy

Lời giải

Giả sử mặt cầu \(\left( S \right)\) ngoại tiếp hình chóp \(OABC\) có phương trình:

\({x^2} + {y^2} + {z^2} - 2mx - 2ny - 2pz + q = 0,{m^2} + {n^2} + {p^2} - q > 0\)

Thay tọa độ các điểm \(O,A,B,C\) vào phương trình mặt cầu \(\left( S \right)\) ta có:

\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{a^2} - 2ma + q = 0}\\{{b^2} - 2nb + q = 0}\\{{c^2} - 2cp + q = 0}\\{q = 0}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{m = \frac{a}{2},n = \frac{b}{2}}\\{p = \frac{c}{2},q = 0}\end{array}} \right.} \right.\)

Tâm của mặt cầu: \(I\left( {\frac{a}{2};\frac{b}{2};\frac{c}{2}} \right) \Rightarrow \) bán kính mặt cầu: \(R = \frac{1}{2}\sqrt {{a^2} + {b^2} + {c^2}} \)

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có: \({a^2} + \frac{{27}}{{8a}} + \frac{{27}}{{8a}} \ge \frac{{27}}{4} \Leftrightarrow {a^2} + \frac{{27}}{{4a}} \ge \frac{{27}}{4}\)

Tương tự ta có: \({b^2} + \frac{{27}}{{4b}} \ge \frac{{27}}{4},{c^2} + \frac{{27}}{{4c}} \ge \frac{{27}}{4}\)

Cộng ba bất đẳng thức ta được:

\({a^2} + {b^2} + {c^2} + \frac{{27}}{4}\left( {\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c}} \right) \ge \frac{{81}}{4} \Rightarrow {a^2} + {b^2} + {c^2} \ge \frac{{27}}{4} \Rightarrow R \ge \frac{{3\sqrt 3 }}{4}\)

Bất đẳng thức xảy \({\rm{ra}} \Leftrightarrow a = b = c = \frac{3}{2}\)

Vậy \({R_{{\rm{min}}}} = \frac{{3\sqrt 3 }}{4}\)