Đáp án:  __

 

Đáp án đúng là "9"

Phương pháp giải

Xác định vị trí tương đối của hai mặt cầu. Xác định dạng phương trình mặt phẳng \(\left( P \right)\)

Lời giải

Do \(IJ = 4 > {R_1} + {R_2} \Rightarrow \) hai mặt cầu cắt nhau.

Giả sử \(IJ\) cắt \(\left( P \right)\) tại \(M\) ta có \(\frac{{MJ}}{{MI}} = \frac{{{R_2}}}{{{R_1}}} = 2 \Rightarrow J\) là trung điểm \(MI\)

\( \Rightarrow M\left( {2;1;9} \right)\)

Phương trình mặt phẳng \(\left( P \right)\) nhận \(\vec n\left( {a,b,c} \right)\) làm vecto pháp tuyến và đi qua điểm \(M\left( {2;1;9} \right)\) có dạng: \(a\left( {x - 2} \right) + b\left( {y - 1} \right) + c\left( {z - 9} \right) = 0,{a^2} + {b^2} + {c^2} > 0\)

\(d\left( {I,\left( P \right)} \right) = 4 \Rightarrow \frac{{\left| {8c} \right|}}{{\sqrt {{a^2} + {b^2} + {c^2}} }} = 4 \Leftrightarrow \frac{{\left| {2c} \right|}}{{\sqrt {{a^2} + {b^2} + {c^2}} }} = 1\)

Do đó \(c \ne 1\). Chọn \(c = 1 \Rightarrow {a^2} + {b^2} = 3\)

Đặt \(a = \sqrt 3 {\rm{sin}}t,b = \sqrt 3 {\rm{cot}}t \Rightarrow d\left( {O,\left( P \right)} \right) = \frac{{\left| {2a + b + 9} \right|}}{{\sqrt {{a^2} + {b^2} + {c^2}} }} = \frac{{\left| {2a + b + 9} \right|}}{2}\)

\( = \frac{{\left| {2\sqrt 3 {\rm{sin}}t + \sqrt 3 {\rm{cot}}t + 9} \right|}}{2}\)

Mặt khác

\( - \sqrt {12 + 3}  \le 2\sqrt 3 {\rm{sin}}t + \sqrt 3 {\rm{cot}}t \le \sqrt {12 + 3}  \Rightarrow \frac{{9 - \sqrt {15} }}{2} \le {d_0} \le \frac{{\sqrt {15}  + 9}}{2}\)

\( \Rightarrow M = \frac{{\sqrt {15}  + 9}}{2},m = \frac{{9 - \sqrt {15} }}{2}\)

\( \Rightarrow M + m = 9\)