Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) liên tục trên \(\mathbb{R}\). Bảng biến thiên của hàm số \(y = f'\left( x \right)\) như sau

Tìm \(m\) để bất phương trình \(m + {x^2} \le f\left( x \right) + \frac{1}{3}{x^3}\) nghiệm đúng với mọi \(x \in \left( {0;3} \right)\).

 

Đáp án đúng là C

Phương pháp giải

Cô lập m

Lời giải

Ta có \(m + {x^2} \le f\left( x \right) + \frac{1}{3}{x^3} \Leftrightarrow m \le f\left( x \right) + \frac{1}{3}{x^3} - {x^2}\)

Xét hàm \(h\left( x \right) = f\left( x \right) + \frac{1}{3}{x^3} - {x^2}\) trên \(\left( {0;3} \right)\)

\(h'\left( x \right) = f'\left( x \right) + {x^2} - 2x\)

Dựa vào bảng biến thiên, ta có \(1 < f'\left( x \right) \le 3,\forall x \in \left( {0;3} \right)\)

Khảo sát hàm số \(y = {x^2} - 2x\) ta có bảng biến thiên:

Từ bảng biến thiên ta có \( - 1 \le {x^2} - 2x < 3\) với mọi \(x \in \left( {0;3} \right)\)

\( \Rightarrow h'\left( x \right) = f'\left( x \right) + {x^2} - 2x > 0,\forall x \in \left( {0;3} \right)\)

Hàm số \(y = f\left( x \right)\) có đạo hàm tại \(x = 0\), liên tục trên \(\left[ {0;3} \right)\). Do đó

\(h\left( x \right) = f\left( x \right) + \frac{1}{3}{x^3} - {x^2}\) cũng liên tục trên \(\left[ {0;3} \right)\). Bảng biến thiên:

Phương trình đã cho nghiệm đúng với mọi \(x \in \left( {0;3} \right) \Leftrightarrow m \le f\left( 0 \right)\) vậy \(m \le f\left( 0 \right)\)