Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\) là hình chữ nhật, \(SA \bot (ABCD),\)(minh họa như hình vẽ). Khoảng cách từ điểm \(S\) đến mặt phẳng \((ABCD)\) bằng đoạn thẳng nào?

Gọi \(N\) là trung điểm \(BB'\)\( \Rightarrow MN//B'C\, \Rightarrow B'C//\left( {AMN} \right)\,\).

Khi đó \(d\left( {AM,B'C} \right) = d\left( {B'C,\left( {AMN} \right)} \right) = d\left( {C,\left( {AMN} \right)} \right)\).

Ta có \(BC \cap \left( {AMN} \right) = M\) và \(MB = MC\) nên \(d\left( {C,\left( {AMN} \right)} \right) = d\left( {B,\left( {AMN} \right)} \right)\).

Gọi \(h\) là khoảng cách từ \(B\) đến mặt phẳng \(\left( {AMN} \right)\). Tứ diện\(BAMN\)có \(BA,\,BM,\,BN\) đôi một vuông góc nên: \(\frac{1}{{{h^2}}} = \frac{1}{{B{A^2}}} + \frac{1}{{B{M^2}}} + \frac{1}{{B{N^2}}}\)

\(AB = 2a = BC\).

\(BN = \frac{1}{2}BB' = \frac{1}{2}AA' = \frac{{2a}}{2} = a\).

\(BM = \frac{1}{2}BC = a\).

Suy ra \(\frac{1}{{{h^2}}} = \frac{1}{{4{a^2}}} + \frac{1}{{{a^2}}} + \frac{1}{{{a^2}}} = \frac{9}{{4{a^2}}} \Rightarrow {h^2} = \frac{{4{a^2}}}{9} \Rightarrow h = \frac{{2a}}{3}\).