(0,5 điểm) Bạn Nam làm một căn nhà đồ chơi bằng gỗ có phần mái là một chóp tứ giác đều. Biết các cạnh bên của mái nhà bạn Nam dùng các thanh gỗ có chiều dài \(16{\rm{ cm}}\). Bạn Nam dự định dùng giấy màu để phủ kín phần mái nhà. Gọi độ dài cạnh đáy của phần mái là \(2x{\rm{ }}\left( {{\rm{cm}}} \right)\). Hỏi diện tích giấy màu cần sử dụng nhiều nhất là bao nhiêu?

Diện tích giấy màu cần sử dụng chính bằng tổng diện tích bốn mặt bên là các tam giác cân có cạnh bên bằng \(16{\rm{ cm}}\) và cạnh đáy là \(2x{\rm{ }}\left( {{\rm{cm}}} \right)\).

Xét tam giác \(SBC\), kẻ đường cao \(SH \bot BC\) tại \(H\).

Do tam giác \(SBC\) cân tại \(S\) nên \(SH\) vừa là đường cao, vừa là đường trung trực suy ra \(H\) là trung điểm của \(BC\).

Suy ra \(BH = HC = \frac{{BC}}{2} = x{\rm{ }}\left( {{\rm{cm}}} \right){\rm{ }}\left( {0 < x < 16} \right)\).

Áp dụng định lí Pythagore vào tam giác \(SHC\), ta có: \(S{H^2} + H{C^2} = S{C^2}\)

Suy ra \(S{H^2} = {16^2} - {x^2} = 256 - {x^2}\).

Do đó \(SH = \sqrt {256 - {x^2}} \).

Diện tích tam giác \(SBC\) là \(\frac{1}{2}.2x.\sqrt {256 - {x^2}} = x\sqrt {256 - {x^2}} {\rm{ }}\left( {{\rm{c}}{{\rm{m}}^2}} \right)\).

Diện tích giấy màu cần sử dụng là \(4x\sqrt {256 - {x^2}} {\rm{ }}\left( {{\rm{c}}{{\rm{m}}^2}} \right)\).

Thực hiện tính giá trị lớn nhất của \(S = 4x\sqrt {256 - {x^2}} {\rm{ }}\)với \(0 < x < 16\).

Ta có: \(4x\sqrt {256 - {x^2}} = 4\sqrt {256{x^2} - {x^4}} \)

                                \( = 4\sqrt { - \left( {{x^4} - 2.128{x^2} + {{128}^2}} \right) + {{128}^2}} \)

                                \( = 4\sqrt { - {{\left( {{x^2} - 128} \right)}^2} + {{128}^2}} \).

Vì \({\left( {{x^2} - 128} \right)^2} \ge 0\) với mọi \(x \in \mathbb{R}\) nên \( - {\left( {{x^2} - 128} \right)^2} \le 0\) với mọi \(x \in \mathbb{R}\).

Suy ra \(4\sqrt { - {{\left( {{x^2} - 128} \right)}^2} + {{128}^2}} \le 4\sqrt {{{128}^2}} = 512\) với mọi \(x \in \mathbb{R}\).

Do đó, \(S = 4x\sqrt {256 - {x^2}} \le 512\) với mọi \(x \in \mathbb{R}\).

Dấu  xảy ra khi \({x^2} - 128 = 0\) hay \(x = 8\sqrt 2 {\rm{ }}\left( {0 < x < 16} \right)\).

Vậy diện tích giấy màu cần sử dụng nhiều nhất là \(512{\rm{ c}}{{\rm{m}}^2}\).