Bộ 5 đề thi cuối kì 1 Toán 9 Kết nối tri thức (Tự luận) có đáp án - Đề 3

a) ⦁ Xét biểu thức \(A = \frac{{\sqrt x + 2}}{{\sqrt x - 2}} - \frac{{\sqrt x - 2}}{{\sqrt x + 2}} + \frac{{4x}}{{x - 4}}\).

Điều kiện xác định của biểu thức \(A\) là \(x \ge 0,\,\,\sqrt x - 2 \ne 0,\,\,\sqrt x + 2 \ne 0,\,\,x - 4 \ne 0.\)

Với \(x \ge 0\), ta có: \(\sqrt x - 2 \ne 0\) khi \(x \ne 4;\)

\(\sqrt x + 2 > 0\);

\(x - 4 \ne 0\) khi \(x \ne 4.\)

Do đó, điều kiện xác định của biểu thức \(A\) là \(x \ge 0\) và \(x \ne 4.\)

⦁ Xét biểu thức \(B = \frac{{4\left( {\sqrt x + 2} \right)}}{{\sqrt x - 2}}.\)

Do đó, điều kiện xác định của biểu thức \(B\) là \(x \ge 0,\,\,\sqrt x - 2 \ne 0,\) tức là \(x \ge 0\) và \(x \ne 4\).

Vậy điều kiện xác định của biểu thức \(A\) và biểu thức \(B\) đều là \(x \ge 0,\,\,x \ne 4.\)

b) Thay \(x = 196\,\,\left( {{\rm{TM}}} \right)\) vào biểu thức \(B\) ta được:

\[B = \frac{{4 \cdot \left( {\sqrt {196}  + 2} \right)}}{{\sqrt {196}  - 2}} = \frac{{4 \cdot \left( {14 + 2} \right)}}{{14 - 2}} = \frac{{4 \cdot 16}}{{12}} = \frac{{16}}{3}\].

Vậy với \(x = 196\) thì giá trị của biểu thức \[B = \frac{{16}}{3}\].

c) Với \(x \ge 0,  x \ne 4\), ta có:

 \(A = \frac{{\sqrt x  + 2}}{{\sqrt x  - 2}} - \frac{{\sqrt x  - 2}}{{\sqrt x  + 2}} + \frac{{4x}}{{x - 4}}\)

\[ = \frac{{\left( {\sqrt x  + 2} \right)\left( {\sqrt x  + 2} \right)}}{{\left( {\sqrt x  - 2} \right)\left( {\sqrt x  + 2} \right)}} - \frac{{\left( {\sqrt x  - 2} \right)\left( {\sqrt x  - 2} \right)}}{{\left( {\sqrt x  - 2} \right)\left( {\sqrt x  + 2} \right)}} + \frac{{4x}}{{\left( {\sqrt x  - 2} \right)\left( {\sqrt x  + 2} \right)}}\]

\[ = \frac{{x + 4\sqrt x  + 4 - x + 4\sqrt x  - 4 + 4x}}{{\left( {\sqrt x  - 2} \right)\left( {\sqrt x  + 2} \right)}}\]

\[ = \frac{{4\sqrt x \left( {\sqrt x  + 2} \right)}}{{\left( {\sqrt x  - 2} \right)\left( {\sqrt x  + 2} \right)}} = \frac{{4\sqrt x }}{{\sqrt x  - 2}}\]

\[ = \frac{{4x + 8\sqrt x }}{{\left( {\sqrt x  - 2} \right)\left( {\sqrt x  + 2} \right)}}\].

Vậy với \(x \ge 0,  x \ne 4\) thì \[A = \frac{{4\sqrt x }}{{\sqrt x  - 2}}\].

d) Với \(x \ge 0, x \ne 4,\) ta có

\(P = A:B\)\[ = \frac{{4\sqrt x }}{{\sqrt x  - 2}}:\frac{{4\left( {\sqrt x  + 2} \right)}}{{\sqrt x  - 2}}\]\[ = \frac{{4\sqrt x }}{{\sqrt x  - 2}} \cdot \frac{{\sqrt x  - 2}}{{4\left( {\sqrt x  + 2} \right)}} = \frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x  + 2}}\].

Với \(x \ge 0,  x \ne 4\) thì \[\sqrt P \] luôn có nghĩa.

Xét hiệu: \[P - 1 = \frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x  + 2}} - 1 = \frac{{\sqrt x  - \sqrt x  - 2}}{{\sqrt x  + 2}} = \frac{{ - 2}}{{\sqrt x  + 2}}\].

Ta thấy: \[ - 2 < 0\]; \[\sqrt x  + 2 > 0\] với \(x \ge 0,  x \ne 4\).

Khi đó \[\frac{{ - 2}}{{\sqrt x  + 2}} < 0\] suy ra \[P - 1 < 0\] nên \[P < 1\] hay \[\sqrt P  < 1\], do đó \[\sqrt P  - 1 < 0\].

Mà \[\sqrt P  \ge 0\] nên \[\sqrt P \left( {\sqrt P  - 1} \right) \le 0\] suy ra \[P - \sqrt P  \le 0\] hay \[P \le \sqrt P \].

Vậy với \(x \ge 0\,, \,x \ne 4\) thì \[P \le \sqrt P \].

a) Điều kiện xác định: \(x \ne \frac{1}{3},\,\,x \ne - \frac{1}{3}.\)

Ta có: \(\frac{{1 - 3x}}{{1 + 3x}} - \frac{{1 + 3x}}{{1 - 3x}} = \frac{{12}}{{1 - 9{x^2}}}\)

\(\frac{{{{\left( {1 - 3x} \right)}^2}}}{{\left( {1 + 3x} \right)\left( {1 - 3x} \right)}} - \frac{{{{\left( {1 + 3x} \right)}^2}}}{{\left( {1 + 3x} \right)\left( {1 - 3x} \right)}} = \frac{{12}}{{\left( {1 + 3x} \right)\left( {1 - 3x} \right)}}\)

\(\frac{{{{\left( {1 - 3x} \right)}^2} - {{\left( {1 + 3x} \right)}^2}}}{{\left( {1 + 3x} \right)\left( {1 - 3x} \right)}} = \frac{{12}}{{\left( {1 + 3x} \right)\left( {1 - 3x} \right)}}\)

\({\left( {1 - 3x} \right)^2} - {\left( {1 + 3x} \right)^2} = 12\)

\(\left( {1 - 3x - 1 - 3x} \right)\left( {1 - 3x + 1 + 3x} \right) = 12\)

\( - 6x \cdot 2 = 12\)

\( - 12x = 12\)

    \(x = - 1\) (thỏa mãn).

b) \(5x - \frac{7}{2}\left( {2x - 5} \right) < \frac{2}{3}\left( {x - 1} \right)\)

     \(5x - 7x + \frac{{35}}{2} < \frac{2}{3}x - \frac{2}{3}\)

     \( - 2x - \frac{2}{3}x < - \frac{2}{3} - \frac{{35}}{2}\)

       \( - \frac{8}{3}x < - \frac{{109}}{6}\)

        \(x > - \frac{{109}}{6}:\left( { - \frac{8}{3}} \right)\)

         \(x > \frac{{109}}{{16}}\).