(2,5 điểm) Cho nửa đường tròn \(\left( O \right)\) và đường kính \(AB\). Từ \[A\] và \[B\] kẻ hai tiếp tuyến \[Ax,\,\,By.\] Qua điểm \[M\] thuộc nửa đường tròn kẻ tiếp tuyến thứ ba cắt các tiếp tuyến \[Ax,\,\,By\] lần lượt ở \[C\] và \[D\]. Các đường thẳng \[AD\] và \[BC\] cắt nhau tại \[N\].

a) Chứng minh rằng \(\widehat {COD} = 90^\circ \) và \[AC \cdot BD = \frac{{A{B^2}}}{4}.\]

a) Điều kiện xác định: \(x \ne \frac{1}{3},\,\,x \ne - \frac{1}{3}.\)

Ta có: \(\frac{{1 - 3x}}{{1 + 3x}} - \frac{{1 + 3x}}{{1 - 3x}} = \frac{{12}}{{1 - 9{x^2}}}\)

\(\frac{{{{\left( {1 - 3x} \right)}^2}}}{{\left( {1 + 3x} \right)\left( {1 - 3x} \right)}} - \frac{{{{\left( {1 + 3x} \right)}^2}}}{{\left( {1 + 3x} \right)\left( {1 - 3x} \right)}} = \frac{{12}}{{\left( {1 + 3x} \right)\left( {1 - 3x} \right)}}\)

\(\frac{{{{\left( {1 - 3x} \right)}^2} - {{\left( {1 + 3x} \right)}^2}}}{{\left( {1 + 3x} \right)\left( {1 - 3x} \right)}} = \frac{{12}}{{\left( {1 + 3x} \right)\left( {1 - 3x} \right)}}\)

\({\left( {1 - 3x} \right)^2} - {\left( {1 + 3x} \right)^2} = 12\)

\(\left( {1 - 3x - 1 - 3x} \right)\left( {1 - 3x + 1 + 3x} \right) = 12\)

\( - 6x \cdot 2 = 12\)

\( - 12x = 12\)

    \(x = - 1\) (thỏa mãn).

a) ⦁ Xét biểu thức \(A = \frac{{\sqrt x + 2}}{{\sqrt x - 2}} - \frac{{\sqrt x - 2}}{{\sqrt x + 2}} + \frac{{4x}}{{x - 4}}\).

Điều kiện xác định của biểu thức \(A\) là \(x \ge 0,\,\,\sqrt x - 2 \ne 0,\,\,\sqrt x + 2 \ne 0,\,\,x - 4 \ne 0.\)

Với \(x \ge 0\), ta có: \(\sqrt x - 2 \ne 0\) khi \(x \ne 4;\)

\(\sqrt x + 2 > 0\);

\(x - 4 \ne 0\) khi \(x \ne 4.\)

Do đó, điều kiện xác định của biểu thức \(A\) là \(x \ge 0\) và \(x \ne 4.\)

⦁ Xét biểu thức \(B = \frac{{4\left( {\sqrt x + 2} \right)}}{{\sqrt x - 2}}.\)

Do đó, điều kiện xác định của biểu thức \(B\) là \(x \ge 0,\,\,\sqrt x - 2 \ne 0,\) tức là \(x \ge 0\) và \(x \ne 4\).

Vậy điều kiện xác định của biểu thức \(A\) và biểu thức \(B\) đều là \(x \ge 0,\,\,x \ne 4.\)