(2,0 điểm) Cho hai biểu thức: $A = \frac{x + 3}{\sqrt{x} - 2}$ và $B = \frac{\sqrt{x} - 1}{\sqrt{x} + 2} + \frac{5 \sqrt{x} - 2}{x - 4}$ với $x > 0, x \neq 4.$

Câu 1/15

a) Tìm điều kiện xác định của hai biểu thức $A$ và $B$.

Xem đáp án

Lời giải

a) ⦁ Xét biểu thức $A = \frac{{x + 3}}{{\sqrt x - 2}}$.

Điều kiện xác định của biểu thức $A$ và $x \ge 0$ và $\sqrt x - 2 \ne 0$ hay $x \ge 0,\,\,x \ne 4.$

⦁ Xét biểu thức $B = \frac{{\sqrt x - 1}}{{\sqrt x + 2}} + \frac{{5\sqrt x - 2}}{{x - 4}}$.

Điều kiện xác định của biểu thức $B$ là $x \ge 0,\,\,\sqrt x + 2 \ne 0$ và $x - 4 \ne 0.$

Với $x \ge 0$ ta thấy $\sqrt x + 2 > 0$ và $x - 4 \ne 0$ khi $x \ne 4.$

Vậy, điều kiện xác định của biểu thức $A$ và biểu thức $B$ đều là $x \ge 0,\,\,x \ne 4.$

Câu 2/15

b) Tính giá trị của biểu thức $A$ khi $x = 16.$

Xem đáp án

Lời giải

b) Với $x = 16$ (thỏa mãn điều kiện), ta có

$A = \frac{{16 + 3}}{{\sqrt {16} - 2}} = \frac{{19}}{{4 - 2}} = \frac{{19}}{2}$.

Vậy khi $x = 16$ thì giá trị của biểu thức $A$ bằng $\frac{{19}}{2}$.

Câu 3/15

c) Chứng minh $B = \frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x - 2}}.$

Xem đáp án

Lời giải

c) Với $x > 0,\,\,x \ne 4$, ta có

$B = \frac{\sqrt{x} - 1}{\sqrt{x} + 2} + \frac{5 \sqrt{x} - 2}{x - 4} = \frac{(\sqrt{x} - 1) (\sqrt{x} - 2)}{(\sqrt{x} + 2) (\sqrt{x} - 2)} + \frac{5 \sqrt{x} - 2}{(\sqrt{x} + 2) (\sqrt{x} - 2)}$

$ = \frac{{x - 3\sqrt x + 2 + 5\sqrt x - 2}}{{\left( {\sqrt x + 2} \right)\left( {\sqrt x - 2} \right)}} = \frac{{x + 2\sqrt x }}{{\left( {\sqrt x + 2} \right)\left( {\sqrt x - 2} \right)}}$

$ = \frac{{\sqrt x \left( {\sqrt x + 2} \right)}}{{\left( {\sqrt x + 2} \right)\left( {\sqrt x - 2} \right)}} = \frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x - 2}}$.

Câu 4/15

d) Xét biểu thức $P = \frac{A}{B}.$ Tìm tất cả các giá trị nguyên của $x$ thỏa mãn $P \le 4$.

Xem đáp án

Lời giải

Hướng dẫn giải

d) Ta có $P = \frac{A}{B} = \frac{{x + 3}}{{\sqrt x - 2}}:\frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x - 2}} = \frac{{x + 3}}{{\sqrt x }}$.

Do đó $P \le 4$ khi $\frac{{x + 3}}{{\sqrt x }} \le 4$ suy ra $\frac{{x + 3}}{{\sqrt x }} - 4 \le 0$ hay $\frac{{x + 3 - 4\sqrt x }}{{\sqrt x }} \le 0$.

Do $\sqrt x > 0$ nên để $\frac{{x + 3 - 4\sqrt x }}{{\sqrt x }} \le 0$ thì $x + 3 - 4\sqrt x \le 0$.

Ta có $x + 3 - 4\sqrt x = x - 4\sqrt x + 4 - 1 = {\left( {\sqrt x - 2} \right)^2} - 1$.

Do đó $x + 3 - 4\sqrt x \le 0$ khi ${\left( {\sqrt x - 2} \right)^2} - 1 \le 0$ suy ra \[ - 1 \le \;\sqrt x - 2 \le 1\] hay \[1 \le \;\sqrt x \le 3\] từ dó suy ra \[1 \le \;x \le 9\].

Vì \[x\] nguyên nên ta có \[x \in \left\{ {1\,;\,\,2\,;\,\,3\,;\,\,4\,;\,\,5\,;\,\,6\,;\,\,7\,;\,\,8\,;\,\,9} \right\}.\]

Đoạn văn 2

(3,5 điểm)

Câu 5/15

1. Giải các phương trình, bất phương trình sau:
a) $\frac{4}{{x - 1}} - \frac{3}{x} = \frac{{4x}}{{x\left( {x - 1} \right)}}$

Xem đáp án

Lời giải

a) Điều kiện xác định: $x \ne 1,\,\,x \ne 0.$

Ta có: $\frac{4}{{x - 1}} - \frac{3}{x} = \frac{{4x}}{{x\left( {x - 1} \right)}}$

$\frac{{4x}}{{x\left( {x - 1} \right)}} - \frac{{3\left( {x - 1} \right)}}{{x\left( {x - 1} \right)}} = \frac{{4x}}{{x\left( {x - 1} \right)}}$

$\frac{{4x - 3\left( {x - 1} \right)}}{{x\left( {x - 1} \right)}} = \frac{{4x}}{{x\left( {x - 1} \right)}}$

$4x - 3x + 3 = 4x$

$4x - 3x - 4x = - 3$

$ - 3x = - 3$

$x = 1$ (không thỏa mãn điều kiện).

Vậy phương trình đã cho vô nghiệm.

Câu 6/15

1. Giải các phương trình, bất phương trình sau:

b) $\frac{5}{{11}}x - \frac{3}{2}\left( {2x - \frac{2}{3}} \right) \ge 3\left( {x - 2} \right).$

Xem đáp án

Lời giải

$\frac{5}{{11}}x - \frac{3}{2}\left( {2x - \frac{2}{3}} \right) \ge 3\left( {x - 2} \right)$

$\frac{5}{{11}}x - 3x + 1 \ge 3x - 6$

$\frac{5}{{11}}x - 3x - 3x \ge - 6 - 1$

$ - \frac{{61}}{{11}}x \ge - 7$

$x \le - 7:\left( { - \frac{{61}}{{11}}} \right)$

$x \le \frac{{77}}{{61}}.$

Vậy nghiệm của bất phương trình là $x \le \frac{{77}}{{61}}.$

Câu 7/15

1. Giải các phương trình, bất phương trình sau:

c) $\frac{3}{2}\sqrt {4x - 8} - 9\sqrt {\frac{{x - 2}}{{81}}} = 6.$

Xem đáp án

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 8/15

2. Giải bài toán sau bằng cách lập hệ phương trình:

Nhà máy luyện thép hiện có sẵn loại thép chứa 10% carbon và loại thép chứa 20% carbon. Giả sử trong quá trình luyện thép các nguyên liệu không bị hao hụt. Tính khối lượng thép mỗi loại cần dùng để luyện được 1000 tấn thép chứa 16% carbon từ hai loại thép trên.

Xem đáp án

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 9/15

3. Để lập đội tuyển năng khiếu môn bóng rổ của trường, thầy thể dục đưa ra quy định tuyển chọn như sau: mỗi bạn dự tuyển sẽ được ném 15 quả bóng vào rổ, quả bóng vào rổ được cộng thêm 2 điểm; quả bóng ném ra ngoài bị trừ 1 điểm. Nếu bạn nào có số điểm từ 15 điểm trở lên thì sẽ được chọn vào đội tuyển.

a) Viết bất phương trình phù hợp với tình huống trên.

b) Hỏi một bạn học sinh muốn được chọn vào đội tuyển thì phải ném ít nhất bao nhiêu quả bóng vào rổ?

Xem đáp án

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Đoạn văn 3

(1,5 điểm) Trên nóc của một tòa nhà có một cột ăng – ten cao $5{\rm{ m}}$. Từ vị trí quan sát $A$ cao $7{\rm{ m}}$ so với mặt đất, có thể nhìn thấy đỉnh $B$ và đỉnh $C$ của một cột ăng – ten dưới góc $50^\circ $ và $40^\circ $ so với phương nằm ngang.

Câu 10/15

a) Viết tỉ số lượng giác sin và tan của góc $ABE$ theo $AB,\,\,BE,\,\,AE.$

Xem đáp án

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 11/15

b) Tính chiều cao của tòa nhà.

Xem đáp án

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Đoạn văn 4

(2,5 điểm) Cho đường tròn $\left( {O;R} \right)$ và điểm $M$ nằm ngoài đường tròn $\left( O \right)$ sao cho $OM = \frac{8}{5}R.$ Từ $M$ vẽ hai tiếp tuyến $MA$ và $MB$ của đường tròn $\left( O \right)$ (với $A,B$ là hai tiếp điểm), đường thẳng $AB$ cắt $OM$ tại $K$.

Câu 12/15

a) Chứng minh \[K\] là trung điểm \[AB\].

Xem đáp án

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 13/15

b) Kẻ đường kính \[AN\] của đường tròn $\left( O \right)$. Kẻ \[BH\] vuông góc với \[AN\] tại \[H\]. Chứng minh rằng \[MB.BN = BH.MO.\]

Xem đáp án

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 14/15

c) Cho \[OM = 2R\], tính diện tích hình quạt giới hạn bởi bán kính \[OB,\]\[ON\] và cung nhỏ \[BN\] theo \[R.\]

Xem đáp án

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 15/15

(0,5 điểm) Để làm một bể chứa dạng hình hộp chữ nhật gồm hai ngăn không nắp với thể tích $750\,\,{{\rm{m}}^{\rm{3}}}$, người ta đã cắt các tấm inox ghép lại với ba kích thước \[a,\,\,b,\,\,c\] như hình vẽ. Các kích thước $a,b,c$ cần là bao nhiêu để lượng inox cần sử dụng là ít nhất?

Xem đáp án

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Xem tiếp với tài khoản VIP

Còn 9/15 câu hỏi, đáp án và lời giải chi tiết.

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Bằng việc đăng ký, bạn đồng ý với Điều khoản sử dụng và Chính sách bảo mật của Vietjack.

Lớp 12

Lớp 11

Lớp 10

Ôn vào 10

Lớp 9

Lớp 8

Lớp 7

Lớp 6

Ôn vào 6

Lớp 5

Lớp 4

Lớp 3

Lớp 2

Lớp 1

Đại học

ĐGNL - ĐGTD

Tốt nghiệp THPT

Ôn vào 10

Ôn vào 6

V-ACT

HSA

TSA

SPT

Toán

Văn

Tiếng Anh

Vật lý

Hóa học

Sinh học

Lịch sử

Địa lý

Giáo dục Kinh tế và Pháp luật

Tin học

Công nghệ

Toán

Văn

Tiếng Anh

Vật lí

Hóa học

Sinh học

Lịch sử

Địa lí

Giáo dục Kinh tế và Pháp luật

Tin học

Công nghệ

Toán

Văn

Tiếng Anh

Vật lí

Hóa học

Sinh học

Lịch sử

Địa lí

Giáo dục Kinh tế và Pháp luật

Tin học

Công nghệ

Toán

Văn

Tiếng Anh

Vật lý

Hóa học

Sinh học

Lịch sử

Địa lí

Giáo dục Kinh tế và Pháp luật

Tin học

Công nghệ

Toán

Văn

Tiếng Anh

Vật lý

Hóa học

Sinh học

Khoa học tự nhiên

Tin học

Lịch sử

Địa lí

Toán

Văn

Tiếng Anh

1. Giải các phương trình, bất phương trình sau:
a) \(\frac{4}{{x - 1}} - \frac{3}{x} = \frac{{4x}}{{x\left( {x - 1} \right)}}\)

1. Giải các phương trình, bất phương trình sau:

b) \(\frac{5}{{11}}x - \frac{3}{2}\left( {2x - \frac{2}{3}} \right) \ge 3\left( {x - 2} \right).\)

1. Giải các phương trình, bất phương trình sau:

c) \(\frac{3}{2}\sqrt {4x - 8} - 9\sqrt {\frac{{x - 2}}{{81}}} = 6.\)