(2,0 điểm) Cho hai biểu thức: $\mathrm{A}=\frac{\mathrm{x}+3}{\sqrt{\mathrm{x}}-2}$  và $\mathrm{B}=\frac{\sqrt{\mathrm{x}}-1}{\sqrt{\mathrm{x}}+2}+\frac{5\sqrt{\mathrm{x}}-2}{\mathrm{x}-4}$  với $\mathrm{x}>0,\mathrm{x}\ne 4.$

a) Tìm điều kiện xác định của hai biểu thức \(A\) và \(B\).

b) Với \(x = 16\) (thỏa mãn điều kiện), ta có

\(A = \frac{{16 + 3}}{{\sqrt {16} - 2}} = \frac{{19}}{{4 - 2}} = \frac{{19}}{2}\).

Vậy khi \(x = 16\) thì giá trị của biểu thức \(A\) bằng \(\frac{{19}}{2}\).

Hướng dẫn giải

d) Ta có \(P = \frac{A}{B} = \frac{{x + 3}}{{\sqrt x - 2}}:\frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x - 2}} = \frac{{x + 3}}{{\sqrt x }}\).

Do đó \(P \le 4\) khi \(\frac{{x + 3}}{{\sqrt x }} \le 4\) suy ra \(\frac{{x + 3}}{{\sqrt x }} - 4 \le 0\) hay \(\frac{{x + 3 - 4\sqrt x }}{{\sqrt x }} \le 0\).

Do \(\sqrt x > 0\) nên để \(\frac{{x + 3 - 4\sqrt x }}{{\sqrt x }} \le 0\) thì \(x + 3 - 4\sqrt x \le 0\).

Ta có \(x + 3 - 4\sqrt x = x - 4\sqrt x + 4 - 1 = {\left( {\sqrt x - 2} \right)^2} - 1\).

Do đó \(x + 3 - 4\sqrt x \le 0\) khi \({\left( {\sqrt x - 2} \right)^2} - 1 \le 0\) suy ra \[ - 1 \le \;\sqrt x - 2 \le 1\] hay \[1 \le \;\sqrt x \le 3\] từ dó suy ra \[1 \le \;x \le 9\].

Vì \[x\] nguyên nên ta có \[x \in \left\{ {1\,;\,\,2\,;\,\,3\,;\,\,4\,;\,\,5\,;\,\,6\,;\,\,7\,;\,\,8\,;\,\,9} \right\}.\]