(2,5 điểm) Cho đường tròn \(\left( {O;R} \right)\) và điểm \(M\) nằm ngoài đường tròn \(\left( O \right)\) sao cho \(OM = \frac{8}{5}R.\) Từ \(M\) vẽ hai tiếp tuyến \(MA\) và \(MB\) của đường tròn \(\left( O \right)\) (với \(A,B\) là hai tiếp điểm), đường thẳng \(AB\) cắt \(OM\) tại \(K\).

a) Chứng minh \[K\] là trung điểm \[AB\].

a) Điều kiện xác định: \(x \ne 1,\,\,x \ne 0.\)

Ta có: \(\frac{4}{{x - 1}} - \frac{3}{x} = \frac{{4x}}{{x\left( {x - 1} \right)}}\)

\(\frac{{4x}}{{x\left( {x - 1} \right)}} - \frac{{3\left( {x - 1} \right)}}{{x\left( {x - 1} \right)}} = \frac{{4x}}{{x\left( {x - 1} \right)}}\)

\(\frac{{4x - 3\left( {x - 1} \right)}}{{x\left( {x - 1} \right)}} = \frac{{4x}}{{x\left( {x - 1} \right)}}\)

\(4x - 3x + 3 = 4x\)

\(4x - 3x - 4x = - 3\)

\( - 3x = - 3\)

    \(x = 1\) (không thỏa mãn điều kiện).

Hướng dẫn giải

Với a là chiều dài của hai ngăn bể cá. Ta có \(V = abc = 750\) (1)

Diện tích các miếng hình là : \(S = ab + 2ac + 2bc\).

Ta có \(\frac{S}{{abc}} = \frac{1}{c} + \frac{2}{b} + \frac{3}{a}\).

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho 3 số \(\frac{1}{c};\,\,\frac{2}{b};\,\,\frac{3}{a}\) ta được

\(\frac{S}{{abc}} = \frac{1}{c} + \frac{2}{b} + \frac{3}{a} \ge 3\sqrt[3]{{\frac{1}{c} \cdot \frac{2}{b} \cdot \frac{3}{a}}} = \frac{{3\sqrt[3]{6}}}{{\sqrt {abc} }} = \frac{{3\sqrt[3]{6}}}{{\sqrt {750} }}.\)

Dấu  xảy ra khi \(\left\{ \begin{array}{l}\frac{1}{c} = \frac{2}{b} = \frac{3}{a}\\abc = 750\end{array} \right.\) suy ra \(\left\{ \begin{array}{l}2a = 3b\\a = 3c\\b = 2c\\abc = 750\end{array} \right.\).

Khi đó, ta có \(3c \cdot 2c \cdot c = 750\) hay \(6{c^3} = 750\) nên \({c^3} = 125\) suy ra \(c = 5\).

Do đó \(a = 3c = 15\,;\,\,b = 2c = 10\,;\,\,c = 5.\)

Vậy các kích thước\(a = 15\,;\,\,b = 10\,;\,\,c = 5\) để lượng inox cần sử dụng là ít nhất.