(0,5 điểm) Một người đào ao cá trên thửa ruộng dạng hình tam giác vuông \[ABC\] tại \[A\] có độ dài các cạnh góc vuông \[AB = 6{\rm{ m,}}\] \[AC = 8{\rm{ m}}{\rm{.}}\] Một chiếc máy xúc ở vị trí điểm \[M\] di chuyển trên bờ \[BC.\] Gọi \[MD\] và \[ME\] là khoảng cách từ \[M\] đến bờ \[AB,AC.\] Người đó đào được ao là hình tứ giác \[ADME\]. Tính diện tích lớn nhất của ao cá mà người đó có thể đào.

 

a) Điều kiện xác định: \(x \ne 1\) và \(x \ne - 1\).

Ta có: \(\frac{{x - 1}}{{x + 1}} - \frac{{x + 1}}{{x - 1}} = \frac{8}{{{x^2} - 1}}\)

\(\frac{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}}}{{\left( {x + 1} \right)\left( {x - 1} \right)}} - \frac{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}}{{\left( {x + 1} \right)\left( {x - 1} \right)}} = \frac{8}{{\left( {x + 1} \right)\left( {x - 1} \right)}}\)

\(\frac{{{{\left( {x - 1} \right)}^2} - {{\left( {x + 1} \right)}^2}}}{{\left( {x + 1} \right)\left( {x - 1} \right)}} = \frac{8}{{\left( {x + 1} \right)\left( {x - 1} \right)}}\)

\({\left( {x - 1} \right)^2} - {\left( {x + 1} \right)^2} = 8\)

\(\left( {x - 1 + x + 1} \right)\left( {x - 1 - x - 1} \right) = 8\)

\(2x.\left( { - 2} \right) = 8\)

\( - 4x = 8\)

    \(x = - 2\) (thỏa mãn).

a) ⦁ Xét đường tròn \[\left( O \right)\] có \[AB,AC\] là hai tiếp cắt nhau tại \[A\] nên \[AB = AC\](tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau). Do đó \[A\] thuộc đường trung trực \[BC\].

Mặt khác, \[OB = OC = R\] nên \[O\] thuộc trung trực của đoạn thẳng \[BC\].

Suy ra \(OA\) là đường trung trực của đoạn thẳng \(BC\), do đó \[OA \bot BC\] tại \[H\].

⦁ Vì \(AB\) là tiếp tuyến của đường tròn \(\left( O \right)\) tại \(B\) nên \(AB \bot OB\) tại \(B.\)

Xét \[\Delta HAB\] và \[\Delta BAO\] có: \(\widehat {AHB} = \widehat {ABO} = 90^\circ \) và \(\widehat {OAB}\) là góc chung.

Do đó $\Delta HAB\backsim \Delta BAO$ (g.g)

Suy ra \[\frac{{HA}}{{BA}} = \frac{{AB}}{{AO}}\] hay \[AH \cdot AO = A{B^2}\] (1).

Xét \(\Delta OAB\) vuông tại \(B,\) ta có: \[A{B^2} = A{O^2} - O{B^2} = A{O^2} - {R^2}\] (định lí Pythagore). (2)

Lại có:

\[AM \cdot AN = \left( {AO - OM} \right)\left( {AO + ON} \right)\]

               \[ = A{O^2} + AO \cdot ON - OM \cdot AO - OM \cdot ON\]

               \[ = A{O^2} - OM \cdot ON\]\[ = A{O^2} - {R^2}\] (vì \(OM = ON = R)\) (3)

Từ (1), (2), (3) suy ra \[AM \cdot AN = AH \cdot AO = A{O^2} - {R^2}.\]