(2,0 điểm) Cho hai biểu thức $\mathrm{A}=\frac{\sqrt{\mathrm{x}}-2}{\sqrt{\mathrm{x}}+7}$  và $\mathrm{B}=\frac{\mathrm{x}}{\mathrm{x}-4}-\frac{1}{2-\sqrt{\mathrm{x}}}+\frac{1}{\sqrt{\mathrm{x}}+2}$ .

a) Tìm điều kiện xác định của hai biểu thức \(A\) và \(B.\)

b) Thay \(x = 25\) (thỏa mãn điều kiện) vào biểu thức \(A,\) ta được:

\[A = \frac{{\sqrt {25} - 2}}{{\sqrt {25} + 7}} = \frac{{5 - 2}}{{5 + 7}} = \frac{3}{{12}} = \frac{1}{4}.\]

Vậy \(A = \frac{1}{4}\) khi \(x = 25.\)

c) Với \(x \ge 0,\,\,x \ne 4,\) ta có:

\(B = \frac{x}{{x - 4}} - \frac{1}{{2 - \sqrt x }} + \frac{1}{{\sqrt x + 2}}\)

 \( = \frac{x}{{\left( {\sqrt x + 2} \right)\left( {\sqrt x - 2} \right)}} + \frac{{\sqrt x + 2}}{{\left( {\sqrt x + 2} \right)\left( {\sqrt x - 2} \right)}} + \frac{{\sqrt x - 2}}{{\left( {\sqrt x + 2} \right)\left( {\sqrt x - 2} \right)}}\)

 \( = \frac{{x + \sqrt x + 2 + \sqrt x - 2}}{{\left( {\sqrt x + 2} \right)\left( {\sqrt x - 2} \right)}}\)\( = \frac{{x + 2\sqrt x }}{{\left( {\sqrt x + 2} \right)\left( {\sqrt x - 2} \right)}}\)

 \( = \frac{{\sqrt x \left( {\sqrt x + 2} \right)}}{{\left( {\sqrt x + 2} \right)\left( {\sqrt x - 2} \right)}} = \frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x - 2}}.\)

Vậy với \(x \ge 0,\,\,x \ne 4,\) thì \(B = \frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x - 2}}.\)

d) Với \(x \ge 0,\,\,x \ne 4,\) ta có: \(P = AB = \frac{{\sqrt x - 2}}{{\sqrt x + 7}} \cdot \frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x - 2}}\)\[ = \frac{x}{{\sqrt x + 7}}.\]

Với \(x \ge 0,\,\,x \ne 4,\) ta cũng có \(P \ge 0\). Khi đó, \(\sqrt P \le \frac{1}{2}\) suy ra \(P \le \frac{1}{4}.\)

Ta có: \(P \le \frac{1}{4}\)

\[\frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x + 7}} \le \frac{1}{4}\]

\[\frac{{4\sqrt x }}{{4\left( {\sqrt x + 7} \right)}} \le \frac{{\sqrt x + 7}}{{4\left( {\sqrt x + 7} \right)}}\]

\[4\sqrt x \le \sqrt x + 7\]

\[3\sqrt x \le 7\]

\[\sqrt x \le \frac{7}{3}\]

\[x \le \frac{{49}}{9}\]

Kết hợp các điều kiện, ta có \[0 \le x \le \frac{{49}}{9};\,\,x \ne 4.\]

Mà \[x\] nguyên nên \[x \in \left\{ {0;\,\,1;\,\,2;\,\,3;\,\,5} \right\}\]

Vậy \[x \in \left\{ {0;\,\,1;\,\,2;\,\,3;\,\,5} \right\}\].