Cho hàm số bậc ba y = f(x) có đồ thị như hình vẽ

Tìm tổng tất cả các giá trị nguyên của tham số m để hàm số  $g\left(x\right) = f\left(\left|f^2\left(x\right) -4x -m \right|\right)$ có 17 điểm cực trị (nhập đáp án vào ô trống)

Đáp án:  _____

 

Đáp án đúng là "1652"

Phương pháp giải

Khảo sát trực tiếp hàm số : \(g\left( x \right) = f\left( {\left| {{f^2}\left( x \right) - 4f\left( x \right) - m} \right|} \right)\)

Lời giải

Ta có:

\(g'\left( x \right) = \frac{{f'\left( x \right)\left( {2f\left( x \right) - 4} \right)\left( {{f^2}\left( x \right) - 4f\left( x \right) - m} \right)}}{{\left| {{f^2}\left( x \right) - 4f\left( x \right) - m} \right|}}.f'\left( {\left| {{f^2}\left( x \right) - 4f\left( x \right) - m} \right|} \right) = 0\)

\[f'(x) = 0\] (1)

\(2f(x) - 4 = 0 \Leftrightarrow f(x) = 2\) (2)

\({f^2}(x) - 4f(x) - m = 0 \Leftrightarrow {f^2}(x) - 4f(x) = m\) (3)

\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\left| {{f^2}(x) - 4f(x) - m} \right| =  - 1\,\,(vo\,ly)\\\left| {{f^2}(x) - 4f(x) - m} \right| = 2 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{{f^2}(x) - 4f(x) - m = 2}\\{{f^2}(x) - 4f(x) - m =  - 2}\end{array} \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{{f^2}(x) - 4f(x) = m + 2\,\,(4)}\\{{f^2}(x) - 4f(x) = m - 2\,\,\,(5)}\end{array}} \right.} \right.\end{array} \right.\)

Dễ thấy (1) có 2 nghiệm đơn (vì có 2 cực trị) và (2) có 3 nghiệm đơn

Vậy tổng số nghiệm đơn của phương trình (3) ; (4) ; (5) là 12 thì thỏa mãn

Đặt \(u = u\left( x \right) = {f^2}\left( x \right) - 4f\left( x \right) \Rightarrow u' = 2f'\left( x \right)\left( {f\left( x \right) - 2} \right) \Rightarrow u' = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{x \in \left\{ { - 1;2} \right\}}\\{x \in \left\{ {a;b;c} \right\}}\end{array}} \right.\)

Các nghiệm trên được sắp thứ tự từ nhỏ đến lớn như sau: \(a <  - 1 < b < 2 < c\).

Bảng biến thiên của hàm số \(u = {f^2}\left( x \right) - 4f\left( x \right)\).

Vậy số giao điểm của các đường thẳng \(y = m - 2;y = m;y = m + 2\) với đồ thị \(u\left( x \right)\) là 12 điểm phân biệt \( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{ - 3 \le m - 2 < 60}\\{ - 3 \le m + 2 < 60}\end{array} \Leftrightarrow  - 1 \le m < 58 \Rightarrow m \in \left\{ { - 1;0;1; \ldots ;57} \right\} \Rightarrow S = 1652} \right.\)