Đường thẳng $d: y = x+4$ cắt đồ thị hàm số $y= x^3 +2m{x}^2 + (m+3)x + 4$ tại ba điểm phân biệt $A(0;4), B , C$sao cho diện tích tam giác MBC bằng 4, với M(1;3). Gọi S là tập tất cả các giá trị thực của tham số m thỏa mãn yêu cầu bài toán. Tính tích các phần tử của S. (nhập đáp án vào ô trống)

Đáp án:  ____

 

Đáp án đúng là "-22"

Phương pháp giải

Xét phương trình hoành độ giao điểm, tìm tọa độ các điểm cực trị, thiết lập phương trình theo yêu cầu bài toán

Lời giải

Xét phương trình hoành độ giao điểm:

\(x + 4 = {x^3} + 2m{x^2} + \left( {m + 3} \right)x + 4 \Leftrightarrow {x^3} + 2m{x^2} + \left( {m + 2} \right)x = 0\) (*)

\( \Leftrightarrow x\left( {{x^2} + 2mx + m + 2} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 0}\\{{x^2} + 2mx + m + 2 = 0\,\,(1)}\end{array}} \right.\)

Để hai đồ thị cắt nhau tại 3 điểm phân biệt thì phương trình (*) có 3 nghiệm phân biệt \( \Rightarrow \) phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt \(x \ne 0\)

\( \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{\rm{\Delta '}} = {m^2} - m - 2 > 0}\\{m + 2 \ne 0}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{m <  - 1}\\{m > 2}\end{array}} \right.}\\{m \ne  - 2}\end{array}} \right.} \right.\)

Khi đó \(A\left( {0,4} \right),B\left( {{x_1},{x_1} + 4} \right),C\left( {{x_2},{x_2} + 4} \right)\) với \({x_1},{x_2}\) là nghiệm của phương trình (1)

Theo hệ thức Viet ta có: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{x_1} + {x_2} =  - 2m}\\{{x_1}.{x_2} = m + 2}\end{array}} \right.\)

Theo bài ra: \({S_{\Delta MBC}} = 4 \Leftrightarrow 4 = \frac{{d\left( {M,BC} \right).BC}}{2} \Leftrightarrow d\left( {M,BC} \right).BC = 8\,\,\left( 2 \right)\)

Phương trình đường thẳng đi qua hai điểm \(B,C\) là:

\(d:\frac{{x - {x_1}}}{{{x_2} - {x_1}}} = \frac{{y - {x_1} - 4}}{{{x_2} + 4 - {x_1} - 4}} \Leftrightarrow x - y + 4 = 0\)

Ta có: \(d\left( {M,BC} \right) = \frac{{\left| {1 - 3 + 4} \right|}}{{\sqrt {10} }} = \frac{2}{{\sqrt {10} }}\)

\(\overrightarrow {BC}  = \left( {{x_2} - {x_1};{x_2} - {x_1}} \right) \Rightarrow BC = \sqrt {2.} \left| {{x_2} - {x_1}} \right|\)

Thay vào \(\left( 2 \right)\) ta có: \(8 = \frac{2}{{\sqrt {10} }}.\sqrt 2 .\left| {{x_2} - {x_1}} \right| \Leftrightarrow 4\sqrt 5  = \left| {{x_2} - {x_1}} \right|\)

\( \Leftrightarrow {\left( {{x_2} - {x_1}} \right)^2} = 80 \Leftrightarrow x_2^2 + x_1^2 - 2{x_1}.{x_2} = 80 \Leftrightarrow {\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^2} - 4{x_1}{x_2} = 80\)

\( \Rightarrow {( - 2m)^2} - 4(m + 2) = 80\)

\( \Leftrightarrow 4{m^2} - 4m - 88 = 0\)

\( \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{m = \frac{{1 - \sqrt {89} }}{2}({\rm{tm}})}\\{m = \frac{{1 + \sqrt {89} }}{2}({\rm{tm}})}\end{array}} \right.\)

Vậy tích các phần tử của \(S\) là: \(\frac{{1 - \sqrt {89} }}{2}.\frac{{1 + \sqrt {89} }}{2} =  - 22\)