Câu hỏi:

24/12/2025 390

Cho hình hộp \(ABCD.A'B'C'D'\) là hình lập phương có độ dài cạnh \(4a\). Tính \(\left| {\overrightarrow {AA'} + 2\overrightarrow {DC} - 4\overrightarrow {A'D'} } \right|\)

A. \(2a\sqrt {21} \).

B. \(a\sqrt {21} \)

C. \(3a\sqrt {21} \).

D. \(4a\sqrt {21} \).

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: Đề thi Đánh giá năng lực ĐHQG Hà Nội form 2025 có đáp án (Đề số 21) !!

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

Đáp án đúng là D

Phương pháp giải

Phân tích vecto và tính toán

Lời giải

Cho hình hộp ABCD.A'B'C'D' là hình lập phương có độ dài cạnh 4a (ảnh 1)

Gọi \(M\) là trung điểm \(BB'\)

\(\begin{array}{l}\overrightarrow {AA'} + 2\overrightarrow {DC} - 4\overrightarrow {A'D'} \\ = \overrightarrow {AA'} + \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {DC} - 4\overrightarrow {AD} \\ = \overrightarrow {AB'} + \overrightarrow {AB} - 4\overrightarrow {AD} \\ = 2\overrightarrow {AM} - 4\overrightarrow {AD} \\ = 2(\overrightarrow {AM} - \overrightarrow {AD} ) - 2\overrightarrow {AD} \\ = 2\overrightarrow {DM} + 2\overrightarrow {DA} \end{array}\)

Gọi \(N\) là trung điểm \(AM \Rightarrow 2\overrightarrow {DM} + 2\overrightarrow {DA} = 4\overrightarrow {DN} \)

\( \Rightarrow \left| {\overrightarrow {AA'} + 2\overrightarrow {DC} - 4\overrightarrow {A'D'} } \right| = 4\left| {\overrightarrow {DN} } \right| = 4DN\)

Cạnh hình lập phương bằng \(4a\)

Xét \(\Delta ABM\) vuông tại \(B\) có: \(A{M^2} = A{B^2} + B{M^2} = 16{a^2} + 4{a^2} = 20{a^2}\)

Xét \(\Delta BDM\) vuông tại \(B\) có:

\(D{M^2} = B{D^2} + B{M^2} = A{D^2} + A{B^2} + B{M^2} = 16{a^2} + 16{a^2} + 4{a^2} = 36{a^2}\)

Trong \(\Delta ADM\) có \(DN\) là trung tuyến ta có:

\(D{N^2} = \frac{{A{D^2} + D{M^2}}}{2} - \frac{{A{M^2}}}{4} = \frac{{16{a^2} + 36{a^2}}}{2} - \frac{{20{a^2}}}{4} = 21{a^2} \Rightarrow DN = a\sqrt {21} \)

Vậy \(\left| {\overrightarrow {AA'} + 2\overrightarrow {DC} - 4\overrightarrow {A'D'} } \right| = 4a\sqrt {21} \)

Hot: 1000+ Đề thi cuối kì 2 file word cấu trúc mới 2026 Toán, Văn, Anh... lớp 1-12 (chỉ từ 60k). Tải ngay

Các sản phẩm khác của Vietjack:

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1

Trong ruột cục nước đá lớn ở \({0^\circ }C\) có một cái hốc với thể tích bằng \(V = 160\;{\rm{c}}{{\rm{m}}^3}\). Người ta rót vào hốc đó 60 g nước ở nhiệt độ \({75^\circ }{\rm{C}}\). Cho khối lượng riêng của nước \({D_1} = 1\;{\rm{g/c}}{{\rm{m}}^3}\) và của nước đá \({D_2} = 0,9\;{\rm{g/c}}{{\rm{m}}^3}\), nhiệt dung riêng của nước là \(c = 4200\;{\rm{J/kgK}}\) và để làm nóng chảy hoàn toàn 1 kg nước đá ở nhiệt độ nóng chảy cần cung cấp cho khối lượng nước đá này một nhiệt lượng \(3,{36.10^5}\;{\rm{J}}\). Hỏi khi nước nguội hẳn thì thể tích hốc rỗng còn lại là bao nhiêu \({\rm{c}}{{\rm{m}}^3}\) (làm tròn đến hàng đơn vị)?

A. \(106{\rm{d}}{{\rm{m}}^3}\).

B. \(106\;{{\rm{m}}^3}\).

C. \(106\;{\rm{c}}{{\rm{m}}^3}\).

D. \(106\;{\rm{m}}{{\rm{m}}^3}\).

Lời giải

Đáp án đúng là C

Phương pháp giải

Áp dụng công thức tính nhiệt lượng: \(Q = mc\Delta t\)

Công thức của khối lượng riêng: \(\rho = \frac{m}{V}\)

Sử dụng phương trình cân bằng nhiệt.

Lời giải

- Nhiệt lượng nước đá toả ra để giảm nhiệt độ từ \({75^\circ }{\rm{C}}\) về \({0^\circ }{\rm{C}}\) là:

\(Q = {m_1}.c.\Delta T = 0,06.4200.(75 - 0) = 18900(J)\)

- Nước đá nhận nhiệt lượng trên và tan thành nước, khối lượng nước đá đã tan là

\(Q = {m_2}.\lambda \Leftrightarrow {m_2} = \frac{Q}{\lambda } = \frac{{18900}}{{3,{{36.10}^5}}} = 0,05625\;{\rm{kg}} = 56,25\;{\rm{g}}\)

- Thể tích nước đá đã tan là: \({V_2} = \frac{{{m_2}}}{{{D_2}}} = \frac{{56,25}}{{0,9}} = 62,5\,\,\left( {{\rm{c}}{{\rm{m}}^3}} \right)\)

- Thể tích nước tạo thành do nước đá tan ra là: \({V_1} = \frac{{{m_2}}}{{{D_1}}} = \frac{{56,25}}{1} = 56,25\,\,\left( {{\rm{c}}{{\rm{m}}^3}} \right)\)

- Thể tích của hốc đá bây giờ là: \(V + {V_2} = 160 + 62,5 = 222,5\,\,\left( {{\rm{c}}{{\rm{m}}^3}} \right)\)

- Thể tích nước chứa trong hốc là: \(\frac{{{m_1}}}{{{D_1}}} + {V_1} = 60 + 56,25 = 116,25\,\,\left( {{\rm{c}}{{\rm{m}}^3}} \right)\)

- Thể tích phần rỗng còn lại là: \(222,5 - 226,25 = 106,25\;{\rm{c}}{{\rm{m}}^3} \approx 106\;{\rm{c}}{{\rm{m}}^3}\) .

Câu 2

Đồ thị dưới đây biểu diễn sự phụ thuộc của độ lớn cường độ điện trường E (do điện tích điểm gây ra) theo khoảng cách r (đến điện tích) khi điện tích lần lượt được đặt vào hai chất điện môi khác nhau. Xác định tỉ số hằng số điện môi của hai môi trường?

Đáp án: __________

Xem đáp án

Lời giải

Đáp án:

1. 1,4 | 0,25

Đáp án đúng là "1/4 | 0,25"

Phương pháp giải

Vận dụng công thức: \(E = \frac{F}{{|q|}}\)

Định luật Coulomb: \(F = k\frac{{\left| {{q_1}{q_2}} \right|}}{{\varepsilon {r^2}}}\)

Lời giải

Theo định luật Coulomb ta có: \(F = k\frac{{\left| {{q_1}{q_2}} \right|}}{{\varepsilon {r^2}}}\)

mặt khác: \(E = \frac{F}{{|q|}}\)

\( \Rightarrow E = k\frac{{|Q|}}{{\varepsilon .{r^2}}}\)

Giả sử môi ô vuông là 1 đơn vị đo.

Ta có:

\( \Rightarrow {E_1} = k\frac{{|Q|}}{{{\varepsilon _1}.r_1^2}}\)

\( \Rightarrow {E_2} = k\frac{{|Q|}}{{{\varepsilon _2}.r_2^2}}\)

Xét tại điểm \({E_1} = {E_2}\) ứng với \[{r_1} = {r_2}\]

\( \Rightarrow k\frac{{|Q|}}{{{\varepsilon _1}.r_1^2}} = k\frac{{|Q|}}{{{\varepsilon _2}.r_2^2}}\)

\( \Leftrightarrow \frac{1}{{{\varepsilon _1}r_1^2}} = \frac{1}{{{\varepsilon _2}r_2^2}} \Rightarrow \frac{{{\varepsilon _1}}}{{{\varepsilon _2}}} = \frac{{r_2^2}}{{r_1^2}} = 0,25\)

Câu 3