Trong không gian \(Oxyz\) cho ba điểm \(A\left( {0; - 1; - 1} \right),B\left( { - 1;2;1} \right),C\left( { - 3;2; - 1} \right)\), mặt phẳng \(\left( P \right): - x + 2y - 2z + 8 = 0\), điểm \(M \in \left( P \right)\). Xác định giá trị nhỏ nhất của biểu thức: \(T = \left| {4\overrightarrow {MA} + 5\overrightarrow {MB} - 7\overrightarrow {MC} } \right|\)

Đáp án đúng là B

Phương pháp giải

Sử dụng phương pháp tâm tỉ cự

Lời giải

Gọi điểm \(I\) thỏa mãn: \(4\overrightarrow {IA} + 5\overrightarrow {IB} - 7\overrightarrow {IC} = \vec 0\)

Khi đó ta có:

\(T = \left| {4\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {5MB} - 7\overrightarrow {MC} \left| = \right|4\overrightarrow {MI} + 4\overrightarrow {IA} + 5\overrightarrow {MI} + 5\overrightarrow {IB} - 7\overrightarrow {MI} - 7\overrightarrow {IC} \left| = \right|2\overrightarrow {MI} } \right| = 2MI\)

\( \Rightarrow {T_{{\rm{min}}}} \Leftrightarrow M{I_{{\rm{min}}}} \Rightarrow {\rm{M}}\) là hình chiếu của \(I\) trên mặt phẳng \(\left( P \right)\)

Giả sử điểm \(I\left( {a,b,c} \right)\). Ta có:

\(\overrightarrow {IA} = ( - a; - 1 - b; - 1 - c) \Rightarrow 4\overrightarrow {IA} = ( - 4a; - 4 - 4b; - 4 - 4c)\)

\(\overrightarrow {IB} = ( - 1 - a;2 - b;1 - c) \Rightarrow 5\overrightarrow {IB} = ( - 5 - 5a;10 - 5b;5 - 5c)\)

\(\overrightarrow {IC} = ( - 3 - a;2 - b; - 1 - c) \Rightarrow - 7\overrightarrow {IC} = (21 + 7a; - 14 + 7b;7 + 7c)\)

\( \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{ - 4a - 5 - 5a + 21 + 7a = 0}\\{ - 4 - 4b + 10 - 5b - 14 + 7b = 0}\\{ - 4 - 4c + 5 - 5c + 7 + 7c = 0}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{a = 8}\\{b = - 4}\\{c = 4}\end{array} \Rightarrow I(8; - 4;4)} \right.} \right.\)

Phương trình đường thẳng đi qua \(I\) và vuông góc với mặt phẳng \(\left( P \right)\) là: \(d:\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 8 - t}\\{y = - 4 + 2t,t \in \mathbb{R}}\\{z = 4 - 2t}\end{array}} \right.\)

Tọa độ \(M\) là nghiệm của hệ phương trình: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 8 - t}\\{y = - 4 + 2t}\\{z = 4 - 2t}\\{ - x + 2y - 2z + 8 = 0}\end{array} \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{t = \frac{{16}}{9}}\\{x = \frac{{56}}{9}}\\{y = \frac{{ - 4}}{9}}\\{z = \frac{4}{9}}\end{array}} \right.} \right.\)

\( \Rightarrow M\left( {\frac{{56}}{9};\frac{{ - 4}}{9};\frac{4}{9}} \right)\)

Vậy \(\overrightarrow {MI} = \left( {\frac{{16}}{9};\frac{{ - 32}}{9};\frac{{32}}{9}} \right) \Rightarrow MI = \frac{{16}}{3} \Rightarrow {T_{{\rm{min}}}} = 2.MI = \frac{{32}}{3}\)