Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy là hình thang vuông tại \(A,B\). Mặt bên \(SAB\) đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Biết \(AB = BC = a,AD = 2a\). Tính tan của góc giữa \(SM\) và mặt phẳng \(\left( {ABCD} \right)\), với \(M\) là điểm nằm trên \(CD\) sao cho \(DM = 2MC\).
A. \(\frac{{3\sqrt {195} }}{{65}}\).
B. \(\frac{{\sqrt {195} }}{{65}}\).
C. \(\frac{{\sqrt {195} }}{{13}}\).
D. \(\frac{{3\sqrt {195} }}{{13}}\).
Quảng cáo
Trả lời:
Giải bởi Vietjack
Đáp án đúng là A
Phương pháp giải
Xác định góc giữa đường thẳng và mặt phẳng qua hình chiếu vuông góc
Lời giải
Gọi \(H\) là trung điểm \(AB\). Vì \(\Delta SAB\) đều \( \Rightarrow SH \bot \left( {ABCD} \right)\)
Mà \(\left( {SAB} \right) \bot \left( {ABCD} \right)\)
\( \Rightarrow SH \bot \left( {ABCD} \right)\)
Hình chiếu của \(SM\) trên mặt phẳng \(\left( {ABCD} \right)\) là \(HM\)
\( \Rightarrow \left( {SM;\left( {ABCD} \right)} \right) = \left( {SM,HM} \right) = \widehat {SMH}\)
Vì \(SH \bot \left( {ABCD} \right) \Rightarrow SH \bot HM\)
\( \Rightarrow {\rm{\Delta }}SHM\) vuông tại H
\(SH\) là đường cao trong tam giác đều \(SAB \Rightarrow SH = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}\)
Gọi \(I\) là trung điểm \(AD \Rightarrow ABCI\) là hình vuông
\( \Rightarrow IC = ID = a \Rightarrow C{D^2} = 2{a^2}\)
Xét tam giác \(HBC\) vuông tại \(B\)
\( \Rightarrow H{C^2} = B{H^2} + B{C^2} = \frac{{{a^2}}}{4} + {a^2} = \frac{{5{a^2}}}{4} \Rightarrow HC = \frac{{a\sqrt 5 }}{2}\)
Xét \(\Delta AHD\) vuông tại \(A\) có: \(D{H^2} = A{H^2} + A{D^2} = \frac{{{a^2}}}{4} + 4{a^2} = \frac{{17{a^2}}}{4} \Rightarrow DH = \frac{{a\sqrt {17} }}{2}\)
Áp dụng định lý Cosin trong tam giác \(HCD\) có:
\({\rm{cos}}\widehat {HCD} = \frac{{H{C^2} + C{D^2} - H{D^2}}}{{2.CD.HC}} = \frac{{\frac{{5{a^2}}}{4} + 2{a^2} - \frac{{17{a^2}}}{4}}}{{2.\frac{{a\sqrt 5 }}{2}.a\sqrt 2 }} = \frac{{ - 1}}{{\sqrt {10} }}\)
Xét \(\Delta HCM\) có:
\(HM = \sqrt {H{C^2} + C{M^2} - 2.CM.HC.{\rm{cos}}\widehat {HCD}} = \sqrt {\frac{{5{a^2}}}{4} + \frac{{2{a^2}}}{9} + 2.\frac{{a\sqrt 2 }}{3}.\frac{{a\sqrt 5 }}{2}.\frac{1}{{\sqrt {10} }}} = \sqrt {\frac{{65}}{{36}}{a^2}} = \frac{{a\sqrt {65} }}{6}\)
Xét \({\rm{\Delta }}SHM\) có: \({\rm{tan}}\widehat {SMH} = \frac{{SH}}{{HM}} = \frac{{\frac{{a\sqrt 3 }}{2}}}{{\frac{{a\sqrt {65} }}{6}}} = \frac{{3\sqrt {195} }}{{65}}\)
Hot: 1000+ Đề thi cuối kì 1 file word cấu trúc mới 2025 Toán, Văn, Anh... lớp 1-12 (chỉ từ 60k). Tải ngay
Sách thầy cô Vietjack biên soạn:
- Tuyển tập 30 đề thi đánh giá năng lực Đại học Quốc gia Hà Nội 2025 (Tập 1) ( 39.000₫ )
- Tuyển tập 30 đề thi đánh giá năng lực Đại học Quốc gia TP Hồ Chí Minh (2 cuốn) ( 140.000₫ )
- Tuyển tập 15 đề thi Đánh giá tư duy Đại học Bách Khoa Hà Nội 2025 (Tập 1) ( 39.000₫ )
- Tuyển tập 30 đề thi đánh giá năng lực Đại học Quốc gia Hà Nội, TP Hồ Chí Minh (2 cuốn) ( 150.000₫ )
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Lời giải
Đáp án đúng là A
Phương pháp giải
Sử dụng công thức xác suất toàn phần, công thức Bayes
Lời giải
Gọi \({A_1},{A_2},{A_3}\) lần lượt là các biến cố gọi một sinh viên Giỏi, Khá, Trung Bình
Nên \({A_1},{A_2},{A_3}\) là hệ biến cố đầy đủ.
Gọi \(B\): "sinh viên đó trả lời được 4 câu hỏi"
Ta có: \(P\left( {{A_1}} \right) = \frac{{C_4^1}}{{C_{20}^1}} = \frac{1}{5},P\left( {{A_2}} \right) = \frac{5}{{20}} = \frac{1}{4},P\left( {{A_3}} \right) = \frac{3}{{20}}\)
Theo bài ta có: 4 sinh viên giỏi trả lời được \(100{\rm{\% }}\) các câu hỏi \( \Rightarrow \) trả lời 20 câu hỏi
5 sinh viên khá trả lời \(80{\rm{\% }}\) câu hỏi \( \Rightarrow \) trả lời được \(20.80{\rm{\% }} = 16\) câu hỏi
3 sinh viên trung bình \(50{\rm{\% }}\) câu hỏi \( \Rightarrow \) Trả lời \(20.50{\rm{\% }} = 10\) câu hỏi
Từ đó \(P\left( {B\mid {A_1}} \right) = \frac{{C_{20}^4}}{{C_{20}^4}} = 1;P\left( {B\mid {A_2}} \right) = \frac{{C_{16}^4}}{{C_{20}^4}} = \frac{{364}}{{969}};P\left( {B\mid {A_3}} \right) = \frac{{C_{10}^4}}{{C_{20}^4}} = \frac{{14}}{{323}}\)
Áp dụng công thức tính xác suất toàn phần:
\(P\left( B \right) = P\left( {B\mid {A_1}} \right).P\left( {{A_1}} \right) + P\left( {B\mid {A_2}} \right).P\left( {{A_2}} \right) + P\left( {B\mid {A_3}} \right).P\left( {{A_3}} \right) = 1.\frac{1}{5} + \frac{{364}}{{969}}.\frac{1}{4} + \frac{3}{{20}}.\frac{{14}}{{323}} = \frac{{2911}}{{9690}}\)
Xác suất để sinh viên đó là sinh viên khá là: \(P\left( {{A_2}\mid B} \right)\)
Áp dụng công thức Bayes \(P\left( {{A_2}\mid B} \right) = \frac{{P\left( {B\mid {A_2}} \right).P\left( {{A_2}} \right)}}{{P\left( B \right)}} = \frac{{\frac{{364}}{{969}}.\frac{1}{4}}}{{\frac{{2911}}{{9690}}}} = \frac{{910}}{{2911}} \approx 0,31\)
Lời giải
Đáp án đúng là “825”
Phương pháp giải
Lời giải
Sau 2,5 phút (150 giây) số vòng mà bánh xe quay được là \(\frac{{150}}{{10}}.25 = 375\)
Bán kính bánh xe là \(R = 350{\rm{\;mm}} = 3,5{\rm{\;m}}\)
Khi đó quãng đường mà người đi xe đạp thực hiện được sau 2,5 phút là
\(375.2\pi R = 375.2\pi .0,35 \approx 825\)
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Câu 5
A. \(2a\sqrt {21} \).
B. \(a\sqrt {21} \)
C. \(3a\sqrt {21} \).
D. \(4a\sqrt {21} \).
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Câu 7
A. \(m \ge - 5\).
B. \(m \ge 5\).
C. \(0 < m < 5\).
D. \(m \le 5\).
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Nhắn tin Zalo
Hỏi bài tập