(1 điểm) Cho khối lăng trụ đứng \(ABC.A'B'C'\) có đáy \(ABC\) là tam giác vuông tại \(A\) và \(AB = a,\,AC = a\sqrt 3 \), mặt phẳng \(\left( {A'BC} \right)\) tạo với đáy một góc \(30^\circ \). Tính thể tích của khối lăng trụ \(ABC.A'B'C'\).

Đáp án đúng là: D

Ta có \(\left\{ \begin{array}{l}BC \bot AB\\BC \bot SA\end{array} \right. \Rightarrow BC \bot \left( {SAB} \right)\).

Do đó, góc giữa \(SC\) với mặt phẳng \(\left( {SAB} \right)\) là \(\widehat {CSB}\).

Tam giác \(SAB\) vuông tại \(A\) có \(SB = \sqrt {S{A^2} + A{B^2}} = \sqrt {{a^2} + {{\left( {a\sqrt 2 } \right)}^2}} = a\sqrt 3 \).

Ta có \[BC = AD = a\].

Tam giác \(SBC\) vuông tại \(B\) có \(\tan \widehat {CSB} = \frac{{BC}}{{SB}} = \frac{a}{{a\sqrt 3 }} = \frac{1}{{\sqrt 3 }}\). Suy ra \(\widehat {CSB} = 30^\circ \).

Đáp án đúng là: A

Vì \(ABCD.A'B'C'D'\) là hình lập phương nên ta có:

+) \(ABCD\) là hình vuông, suy ra \(DC \bot BC\).

+) \(BC \bot \left( {DCC'D'} \right)\), suy ra \(BC \bot D'C\).

Từ đó suy ra, góc \(DCD'\) là một góc phẳng của góc nhị diện \(\left( {D,BC,D'} \right)\).

Vì \(DCC'D'\) là hình vuông nên \(\widehat {DCD'} = 45^\circ \).

Vậy góc nhị diện \(\left( {D,BC,D'} \right)\) có số đo bằng \(45^\circ \).