Trong mặt phẳng tọa độ \(Oxy\), cho hai điểm \(A\left( {3;\,\, - 1} \right)\) và \(B\left( { - 6;\,\,2} \right)\). Phương trình nào sau đây không phải là phương trình tham số của đường thẳng \(AB\)?

Lợi nhuận của công ty trong một tháng khi bán hết \(q\) sản phẩm là:

\(L\left( q \right) = q.R\left( q \right) - C\left( q \right) = q\left( {120 - 2q} \right) - \left( {4{q^2} + 36q - 1\,\,234} \right)\)\( =  - 6{q^2} + 84q + 1\,234\).

Để lợi nhuận công ty thu về là cao nhất, tức cần tìm \(q\) để \(L\left( q \right)\) đạt giá trị lớn nhất.

Lại có \(L\left( q \right) =  - 6{q^2} + 84q + 1\,234\) là hàm số bậc hai có hệ số \(a =  - 6 < 0\), nên nó đạt giá trị lớn nhất tại đỉnh.

Ta có: \(q =  - \frac{b}{{2a}} =  - \frac{{84}}{{2.\left( { - 6} \right)}} = 7\). Do đó, \(L\left( q \right)\)đạt giá trị lớn nhất tại \(q = 7\).

Vậy công ty A cần sản xuất 7 sản phẩm trong một tháng để thu về lợi nhuận cao nhất.

Giả sử đường thẳng \(d\) có dạng: \(y = ax + b\,\,\,\,{\rm{hay}}\,\,\,d:ax - y + b = 0\).

Ta có: \(d\left( {A,\,\,d} \right) = \frac{{\left| {a.\left( { - 1} \right) - 1 + b} \right|}}{{\sqrt {{a^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2}} }} = \frac{{\left| { - a + b - 1} \right|}}{{\sqrt {{a^2} + 1} }} = \sqrt 8 \). Suy ra \(\frac{{\left| { - a + b - 1} \right|}}{{\sqrt 8 }} = \sqrt {{a^2} + 1} \).

Lại có: \(d\left( {B,\,\,d} \right) = \frac{{\left| {a.0 - 2 + b} \right|}}{{\sqrt {{a^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2}} }} = \frac{{\left| {b - 2} \right|}}{{\sqrt {{a^2} + 1} }} = \sqrt 2 \). Suy ra \(\frac{{\left| {b - 2} \right|}}{{\sqrt 2 }} = \sqrt {{a^2} + 1} \) (*).

Do đó, \(\frac{{\left| { - a + b - 1} \right|}}{{\sqrt 8 }} = \frac{{\left| {b - 2} \right|}}{{\sqrt 2 }}\)\( \Leftrightarrow \sqrt 2 \left| { - a + b - 1} \right| = \sqrt 8 \left| {b - 2} \right|\)

\( \Leftrightarrow \sqrt 2 \left| { - a + b - 1} \right| = 2\sqrt 2 \left| {b - 2} \right|\)

\( \Leftrightarrow \left| { - a + b - 1} \right| = 2\left| {b - 2} \right|\)

Trường hợp 1: \( - a + b - 1 = 2\left( {b - 2} \right) \Leftrightarrow a + b - 3 = 0\)\( \Leftrightarrow a = 3 - b\).

Thay \(a = 3 - b\) vào (*) ta được: \(\frac{{\left| {b - 2} \right|}}{{\sqrt 2 }} = \sqrt {{{\left( {3 - b} \right)}^2} + 1}  \Leftrightarrow \left| {b - 2} \right| = \sqrt 2 .\sqrt {{b^2} - 6b + 10} \)

\( \Rightarrow {b^2} - 4b + 4 = 2\left( {{b^2} - 6b + 10} \right)\)\( \Leftrightarrow {b^2} - 8b + 16 = 0 \Leftrightarrow b = 4\).

Suy ra \(a = 3 - 4 =  - 1\).

Vậy \(d: - x - y + 4 = 0\,\,\,{\rm{hay}}\,\,d:x + y - 4 = 0\).

Trường hợp 2: \( - a + b - 1 =  - 2\left( {b - 2} \right) \Leftrightarrow a - 3b + 5 = 0\)\( \Leftrightarrow a = 3b - 5\).

Thay \(a = 3b - 5\) vào (*) ta được: \(\frac{{\left| {b - 2} \right|}}{{\sqrt 2 }} = \sqrt {{{\left( {3b - 5} \right)}^2} + 1}  \Leftrightarrow \left| {b - 2} \right| = \sqrt 2 .\sqrt {9{b^2} - 30b + 26} \)

\( \Rightarrow {b^2} - 4b + 4 = 2\left( {9{b^2} - 30b + 26} \right)\)\( \Leftrightarrow 17{b^2} - 56b + 48 = 0\) (vô nghiệm).

Vậy phương trình đường thẳng \(d\) cần lập có dạng: \(x + y - 4 = 0\).