Trong mặt phẳng tọa độ \(Oxy\), đường tròn có tâm \(M\left( {0;\,\,3} \right)\) và đi qua điểm \(N\left( {4;\,\,0} \right)\) có phương trình là

Lợi nhuận của công ty trong một tháng khi bán hết \(q\) sản phẩm là:

\(L\left( q \right) = q.R\left( q \right) - C\left( q \right) = q\left( {120 - 2q} \right) - \left( {4{q^2} + 36q - 1\,\,234} \right)\)\( =  - 6{q^2} + 84q + 1\,234\).

Để lợi nhuận công ty thu về là cao nhất, tức cần tìm \(q\) để \(L\left( q \right)\) đạt giá trị lớn nhất.

Lại có \(L\left( q \right) =  - 6{q^2} + 84q + 1\,234\) là hàm số bậc hai có hệ số \(a =  - 6 < 0\), nên nó đạt giá trị lớn nhất tại đỉnh.

Ta có: \(q =  - \frac{b}{{2a}} =  - \frac{{84}}{{2.\left( { - 6} \right)}} = 7\). Do đó, \(L\left( q \right)\)đạt giá trị lớn nhất tại \(q = 7\).

Vậy công ty A cần sản xuất 7 sản phẩm trong một tháng để thu về lợi nhuận cao nhất.

Do \[S = x + 3y \Rightarrow x = S - 3y\], thay vào giả thiết \(5{x^2} + 5{y^2} - 5x - 15y + 8 \le 0\) và viết theo hệ số của biến \(y\) ta thu được

\(50{y^2} - 30Sy + 5{S^2} - 5S + 8 \le 0\,\,\,\,\left( * \right)\).

Vì bất đẳng thức trên đúng với mọi \(y\) nên ta có \(\Delta  \ge 0\), tức là

\(900{S^2} - 4.50.(5{S^2} - 5S + 8) \ge 0\).

Biến đổi tương đương ta thu được \( - 100{S^2} + 1000S - 1600 \ge 0\)

hay \(100{S^2} - 1000S + 1600 \le 0 \Leftrightarrow 2 \le S \le 8\).

Khi \[S = 2\] thay vào (*) được \(50{y^2} - 60y + 18 \le 0 \Leftrightarrow y = \frac{3}{5}\) nên \(x = S - 3y = 2 - \frac{9}{5} = \frac{1}{5}\).

Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(S = x + 3y\) là 2 tại \(x = \frac{1}{5},\,\,y = \frac{3}{5}\).