a) Trên mặt phẳng tọa độ \(Oxy,\) cho p\(P = \left( {\frac{{2 + \sqrt a }}{{a + 2\sqrt a + 1}} - \frac{{\sqrt a - 2}}{{a - 1}}} \right):\fr\(\left( d \right):y = \frac{1}{2}x + m\)ac{{\sqrt a }}{{a\sqrt a + a - \sqrt a - 1}}\)arabol \(\left( P \right):y = 2{x^2}\) và đường thẳng . Tìm tất cả các giá trị của để \(\left( d \right)\) cắt \(\left( P \right)\) tại hai điểm phân biệt \(A,{\rm{ }}B\) sao cho tam giác \(OAB\) vuông tại A.
b) Giải hệ phương trình \[\left\{ \begin{array}{l}\sqrt {x - 2y - 3} + 2{y^2} + 4y = 0\\{x^2} + 1 = xy\end{array} \right..\]
a) Trên mặt phẳng tọa độ \(Oxy,\) cho p\(P = \left( {\frac{{2 + \sqrt a }}{{a + 2\sqrt a + 1}} - \frac{{\sqrt a - 2}}{{a - 1}}} \right):\fr\(\left( d \right):y = \frac{1}{2}x + m\)ac{{\sqrt a }}{{a\sqrt a + a - \sqrt a - 1}}\)arabol \(\left( P \right):y = 2{x^2}\) và đường thẳng . Tìm tất cả các giá trị của để \(\left( d \right)\) cắt \(\left( P \right)\) tại hai điểm phân biệt \(A,{\rm{ }}B\) sao cho tam giác \(OAB\) vuông tại A.
b) Giải hệ phương trình \[\left\{ \begin{array}{l}\sqrt {x - 2y - 3} + 2{y^2} + 4y = 0\\{x^2} + 1 = xy\end{array} \right..\]
Quảng cáo
Trả lời:
Giải bởi Vietjack
a) Trên mặt phẳng tọa độ \(Oxy,\) cho parabol \(\left( P \right):y = 2{x^2}\) và đường thẳng \(\left( d \right):y = \frac{1}{2}x + m\). Tìm tất cả các giá trị của \[m\] để \(\left( d \right)\) cắt \(\left( P \right)\) tại hai điểm phân biệt \(A,{\rm{ }}B\) sao cho tam giác \(OAB\) vuông tại A.
Phương trình hoành độ giao điểm của (d) và (P):
\(2{x^2} = \frac{1}{2}x + m \Leftrightarrow 4{x^2} - x - 2m = 0\) (1).
(d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt A, B \( \Leftrightarrow \) (1) có hai nghiệm phân biệt
\( \Leftrightarrow \Delta = 1 + 32m > 0 \Leftrightarrow m > - \frac{1}{{32}}\).
Vì tam giác \(OAB\) vuông tại A nên \(OA \bot AB\), hay \(OA \bot (d)\).
Mặt khác, đường thẳng OA đi qua O nên OA có phương trình là \(y = - 2x\).
Phương trình hoành độ giao điểm của OA và (P): \(2{x^2} = - 2x\).
Phương trình có hai nghiệm \({x_1} = 0;{x_2} = - 1\), suy ra \(A( - 1;2)\).
Vì (d) đi qua A nên \(2 = \frac{1}{2}.( - 1) + m\), suy ra \(m = \frac{5}{2}\) (thỏa mãn).
Vậy \(m = \frac{5}{2}\) là giá trị cần tìm.
b) Giải hệ phương trình \[\left\{ \begin{array}{l}\sqrt {x - 2y - 3} + 2{y^2} + 4y = 0{\rm{ (1)}}\\{x^2} + 1 = xy{\rm{ (2)}}\end{array} \right..\]
Dễ thấy \(x = 0\) không thỏa (2) nên \((2) \Leftrightarrow y = x + \frac{1}{x}\). Thay vào (1), ta được
\(\sqrt { - x - \frac{2}{x} - 3} + 2{\left( {x + \frac{1}{x}} \right)^2} + 4\left( {x + \frac{1}{x}} \right) = 0\)
\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \sqrt { - x - \frac{2}{x} - 3} + 2\left( {{x^2} + 2x + 1} \right) + 2\left( {\frac{1}{{{x^2}}} + \frac{2}{x} + 1} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \sqrt { - x - \frac{2}{x} - 3} + 2{\left( {x + 1} \right)^2} + 2{\left( {\frac{1}{x} + 1} \right)^2} = 0\end{array}\)
\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow - x - \frac{2}{x} - 3 = x + 1 = \frac{1}{x} + 1 = 0\\ \Leftrightarrow x = - 1.\end{array}\)
Với \(x = - 1\), ta suy ra \(y = - 2\).
Vậy hệ pt đã cho có nghiệm duy nhất \((x;y) = ( - 1; - 2)\).
Hot: 1000+ Đề thi cuối kì 1 file word cấu trúc mới 2025 Toán, Văn, Anh... lớp 1-12 (chỉ từ 60k). Tải ngay
Sách thầy cô Vietjack biên soạn:
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Lời giải
|
a) Chứng minh giá trị của biểu thức \(P = \left( {\frac{{2 + \sqrt a }}{{a + 2\sqrt a + 1}} - \frac{{\sqrt a - 2}}{{a - 1}}} \right):\frac{{\sqrt a }}{{a\sqrt a + a - \sqrt a - 1}}\) không phụ thuộc vào giá trị của a, với \(a > 0\) và \(a \ne 1\). |
|
Với \(a > 0,a \ne 1\) ta có: \(P = \left[ {\frac{{2 + \sqrt a }}{{{{\left( {\sqrt a + 1} \right)}^2}}} - \frac{{\sqrt a - 2}}{{\left( {\sqrt a - 1} \right)\left( {\sqrt a + 1} \right)}}} \right]:\frac{{\sqrt a }}{{\left( {a - 1} \right)\left( {\sqrt a + 1} \right)}}\) |
|
\( = \left[ {\frac{{\left( {\sqrt a + 2} \right)\left( {\sqrt a - 1} \right) - \left( {\sqrt a - 2} \right)\left( {\sqrt a + 1} \right)}}{{\left( {\sqrt a - 1} \right){{\left( {\sqrt a + 1} \right)}^2}}}} \right].\frac{{\left( {a - 1} \right)\left( {\sqrt a + 1} \right)}}{{\sqrt a }}\) |
|
\( = \left[ {\frac{{2\sqrt a }}{{\left( {\sqrt a - 1} \right){{\left( {\sqrt a + 1} \right)}^2}}}} \right].\frac{{\left( {\sqrt a - 1} \right){{\left( {\sqrt a + 1} \right)}^2}}}{{\sqrt a }} = 2.\) Vậy giá trị của P không phụ thuộc vào giá trị của a. |
|
b) Cho a, b, c là ba số nguyên dương thỏa mãn \(\frac{4}{a} + \frac{2}{b} = \frac{1}{c}\). Chứng minh \(Q = {a^2} + 4{b^2} + 16{c^2}\) là một số chính phương. |
|
Ta có \(\frac{4}{a} + \frac{2}{b} = \frac{1}{c} \Leftrightarrow ab = 2ac + 4bc \Leftrightarrow ab - 2ac - 4bc = 0.\) |
|
Khi đó \(Q = {a^2} + 4{b^2} + 16{c^2} = {a^2} + 4{b^2} + 16{c^2} + 4\left( {ab - 2ac - 4bc} \right)\) |
|
\( = {(a + 2b - 4c)^2}\) là một số chính phương. |
Lời giải
a) Tìm m để phương trình \({x^2} - 2\left( {m - 1} \right)x - {m^2} + 2m - 3 = 0\) (x là ẩn số) có hai nghiệm\({x_1},{\rm{ }}{x_2}\) thỏa mãn \(\sqrt {x_1^2 + 1} - {x_1} = \sqrt {x_2^2 + 1} + {x_2}\).
Ta có \(ac = - {\left( {m - 1} \right)^2} - 2 < 0\), với mọi m.
Suy ra phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi m.
Ta có \(\sqrt {x_1^2 + 1} - {x_1} = \sqrt {x_2^2 + 1} + {x_2} \Leftrightarrow \sqrt {x_1^2 + 1} - \sqrt {x_2^2 + 1} = {x_1} + {x_2}\)
\( \Leftrightarrow \frac{{x_1^2 - x_2^2}}{{\sqrt {x_1^2 + 1} + \sqrt {x_2^2 + 1} }} = {x_1} + {x_2} \Leftrightarrow \frac{{\left( {x_1^{} - x_2^{}} \right)\left( {{x_1} + {x_2}} \right)}}{{\sqrt {x_1^2 + 1} + \sqrt {x_2^2 + 1} }} = {x_1} + {x_2}\)
\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = 0\\\sqrt {x_1^2 + 1} + \sqrt {x_2^2 + 1} = {x_1} - {x_2}\end{array} \right..\)
TH1: \({x_1} + {x_2} = 0 \Leftrightarrow 2(m - 1) = 0 \Leftrightarrow m = 1\).
TH2: \(\sqrt {x_1^2 + 1} + \sqrt {x_2^2 + 1} = {x_1} - {x_2} \Leftrightarrow \left( {\sqrt {x_1^2 + 1} - {x_1}} \right) + \left( {\sqrt {x_2^2 + 1} + {x_2}} \right) = 0\) (vô lý).
Vậy \(m = 1\).
b) Giải phương trình \(2\left( {\sqrt {x + 9} - 3} \right)\left( {\sqrt {9 - x} + 3} \right) = 9.\)
Điều kiện: \( - 9 \le x \le 9\).
Ta có \(\left( {\sqrt {x + 9} - 3} \right)\left( {\sqrt {9 - x} + 3} \right) = \frac{9}{2} \Leftrightarrow \sqrt {81 - {x^2}} + 3\left( {\sqrt {x + 9} - \sqrt {9 - x} } \right) - \frac{{27}}{2} = 0.\)
Đặt \(t = \sqrt {x + 9} - \sqrt {9 - x} \), suy ra \({t^2} = 18 - 2\sqrt {81 - {x^2}} \), ta có phương trình
\(\frac{{18 - {t^2}}}{2} + 3t - \frac{{27}}{2} = 0 \Leftrightarrow - \frac{{{t^2}}}{2} + 3t - \frac{9}{2} = 0 \Leftrightarrow - \frac{1}{2}{(t - 3)^2} = 0 \Leftrightarrow t = 3\).
Với \(t = 3\), ta có \(\sqrt {x + 9} - \sqrt {9 - x} = 3 \Leftrightarrow \sqrt {x + 9} = 3 + \sqrt {9 - x} \)
\( \Leftrightarrow x + 9 = 18 - x + 6\sqrt {9 - x} \Leftrightarrow 6\sqrt {9 - x} = 2x - 9\)
\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ge \frac{9}{2}\\36(9 - x) = 4{x^2} - 36x + 81\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ge \frac{9}{2}\\4{x^2} = 243\end{array} \right. \Leftrightarrow x = \frac{{9\sqrt 3 }}{2}\) (thỏa mãn).
Vậy \(S = \left\{ {\frac{{9\sqrt 3 }}{2}} \right\}\).
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Nhắn tin Zalo
Hỏi bài tập