$P = \left( {\frac{{2 + \sqrt a }}{{a + 2\sqrt a + 1}} - \frac{{\sqrt a - 2}}{{a - 1}}} \right):\frac{{\sqrt a }}{{a\sqrt a + a - \sqrt a - 1}}$ không phụ thuộc vào giá trị của a, với $a > 0$ và $a \ne 1$.

Với $a > 0,a \ne 1$ ta có:

$P = \left[ {\frac{{2 + \sqrt a }}{{{{\left( {\sqrt a + 1} \right)}^2}}} - \frac{{\sqrt a - 2}}{{\left( {\sqrt a - 1} \right)\left( {\sqrt a + 1} \right)}}} \right]:\frac{{\sqrt a }}{{\left( {a - 1} \right)\left( {\sqrt a + 1} \right)}}$

$ = \left[ {\frac{{\left( {\sqrt a + 2} \right)\left( {\sqrt a - 1} \right) - \left( {\sqrt a - 2} \right)\left( {\sqrt a + 1} \right)}}{{\left( {\sqrt a - 1} \right){{\left( {\sqrt a + 1} \right)}^2}}}} \right].\frac{{\left( {a - 1} \right)\left( {\sqrt a + 1} \right)}}{{\sqrt a }}$

$ = \left[ {\frac{{2\sqrt a }}{{\left( {\sqrt a - 1} \right){{\left( {\sqrt a + 1} \right)}^2}}}} \right].\frac{{\left( {\sqrt a - 1} \right){{\left( {\sqrt a + 1} \right)}^2}}}{{\sqrt a }} = 2.$

Vậy giá trị của P không phụ thuộc vào giá trị của a.

b) Cho a, b, c là ba số nguyên dương thỏa mãn $\frac{4}{a} + \frac{2}{b} = \frac{1}{c}$. Chứng minh $Q = {a^2} + 4{b^2} + 16{c^2}$ là một số chính phương.

Ta có $\frac{4}{a} + \frac{2}{b} = \frac{1}{c} \Leftrightarrow ab = 2ac + 4bc \Leftrightarrow ab - 2ac - 4bc = 0.$

Khi đó $Q = {a^2} + 4{b^2} + 16{c^2} = {a^2} + 4{b^2} + 16{c^2} + 4\left( {ab - 2ac - 4bc} \right)$

$ = {(a + 2b - 4c)^2}$ là một số chính phương.

Câu 2

a) Trên mặt phẳng tọa độ $Oxy,$ cho p$P = \left( {\frac{{2 + \sqrt a }}{{a + 2\sqrt a + 1}} - \frac{{\sqrt a - 2}}{{a - 1}}} \right):\fr\(\left( d \right):y = \frac{1}{2}x + m$ac{{\sqrt a }}{{a\sqrt a + a - \sqrt a - 1}}\)arabol $\left( P \right):y = 2{x^2}$ và đường thẳng . Tìm tất cả các giá trị của để $\left( d \right)$ cắt $\left( P \right)$ tại hai điểm phân biệt $A,{\rm{ }}B$ sao cho tam giác $OAB$ vuông tại A.

b) Giải hệ phương trình \[\left\{ \begin{array}{l}\sqrt {x - 2y - 3} + 2{y^2} + 4y = 0\\{x^2} + 1 = xy\end{array} \right..\]

Xem đáp án

Lời giải

a) Trên mặt phẳng tọa độ $Oxy,$ cho parabol $\left( P \right):y = 2{x^2}$ và đường thẳng $\left( d \right):y = \frac{1}{2}x + m$. Tìm tất cả các giá trị của \[m\] để $\left( d \right)$ cắt $\left( P \right)$ tại hai điểm phân biệt $A,{\rm{ }}B$ sao cho tam giác $OAB$ vuông tại A.

Phương trình hoành độ giao điểm của (d) và (P):

$2{x^2} = \frac{1}{2}x + m \Leftrightarrow 4{x^2} - x - 2m = 0$ (1).

(d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt A, B $ \Leftrightarrow $ (1) có hai nghiệm phân biệt

$ \Leftrightarrow \Delta = 1 + 32m > 0 \Leftrightarrow m > - \frac{1}{{32}}$.

Vì tam giác $OAB$ vuông tại A nên $OA \bot AB$, hay $OA \bot (d)$.

Mặt khác, đường thẳng OA đi qua O nên OA có phương trình là $y = - 2x$.

Phương trình hoành độ giao điểm của OA và (P): $2{x^2} = - 2x$.

Phương trình có hai nghiệm ${x_1} = 0;{x_2} = - 1$, suy ra $A( - 1;2)$.

Vì (d) đi qua A nên $2 = \frac{1}{2}.( - 1) + m$, suy ra $m = \frac{5}{2}$ (thỏa mãn).

Vậy $m = \frac{5}{2}$ là giá trị cần tìm.

b) Giải hệ phương trình \[\left\{ \begin{array}{l}\sqrt {x - 2y - 3} + 2{y^2} + 4y = 0{\rm{ (1)}}\\{x^2} + 1 = xy{\rm{ (2)}}\end{array} \right..\]

Dễ thấy $x = 0$ không thỏa (2) nên $(2) \Leftrightarrow y = x + \frac{1}{x}$. Thay vào (1), ta được

$\sqrt { - x - \frac{2}{x} - 3} + 2{\left( {x + \frac{1}{x}} \right)^2} + 4\left( {x + \frac{1}{x}} \right) = 0$

$\begin{array}{l} \Leftrightarrow \sqrt { - x - \frac{2}{x} - 3} + 2\left( {{x^2} + 2x + 1} \right) + 2\left( {\frac{1}{{{x^2}}} + \frac{2}{x} + 1} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \sqrt { - x - \frac{2}{x} - 3} + 2{\left( {x + 1} \right)^2} + 2{\left( {\frac{1}{x} + 1} \right)^2} = 0\end{array}$

$\begin{array}{l} \Leftrightarrow - x - \frac{2}{x} - 3 = x + 1 = \frac{1}{x} + 1 = 0\\ \Leftrightarrow x = - 1.\end{array}$

Với $x = - 1$, ta suy ra $y = - 2$.

Vậy hệ pt đã cho có nghiệm duy nhất $(x;y) = ( - 1; - 2)$.

Câu 3

a) Tìm m để phương trình ${x^2} - 2\left( {m - 1} \right)x - {m^2} + 2m - 3 = 0$ (x là ẩn số) có hai nghiệm${x_1},{\rm{ }}{x_2}$ thỏa mãn $\sqrt {x_1^2 + 1} - {x_1} = \sqrt {x_2^2 + 1} + {x_2}$.\

b) Giải phương trình $2\left( {\sqrt {x + 9} - 3} \right)\left( {\sqrt {9 - x} + 3} \right) = 9.$

Xem đáp án

Lời giải

a) Tìm m để phương trình ${x^2} - 2\left( {m - 1} \right)x - {m^2} + 2m - 3 = 0$ (x là ẩn số) có hai nghiệm${x_1},{\rm{ }}{x_2}$ thỏa mãn $\sqrt {x_1^2 + 1} - {x_1} = \sqrt {x_2^2 + 1} + {x_2}$.

Ta có $ac = - {\left( {m - 1} \right)^2} - 2 < 0$, với mọi m.

Suy ra phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi m.

Ta có $\sqrt {x_1^2 + 1} - {x_1} = \sqrt {x_2^2 + 1} + {x_2} \Leftrightarrow \sqrt {x_1^2 + 1} - \sqrt {x_2^2 + 1} = {x_1} + {x_2}$

$ \Leftrightarrow \frac{{x_1^2 - x_2^2}}{{\sqrt {x_1^2 + 1} + \sqrt {x_2^2 + 1} }} = {x_1} + {x_2} \Leftrightarrow \frac{{\left( {x_1^{} - x_2^{}} \right)\left( {{x_1} + {x_2}} \right)}}{{\sqrt {x_1^2 + 1} + \sqrt {x_2^2 + 1} }} = {x_1} + {x_2}$

$ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = 0\\\sqrt {x_1^2 + 1} + \sqrt {x_2^2 + 1} = {x_1} - {x_2}\end{array} \right..$

TH1: ${x_1} + {x_2} = 0 \Leftrightarrow 2(m - 1) = 0 \Leftrightarrow m = 1$.

TH2: $\sqrt {x_1^2 + 1} + \sqrt {x_2^2 + 1} = {x_1} - {x_2} \Leftrightarrow \left( {\sqrt {x_1^2 + 1} - {x_1}} \right) + \left( {\sqrt {x_2^2 + 1} + {x_2}} \right) = 0$ (vô lý).

Vậy $m = 1$.

b) Giải phương trình $2\left( {\sqrt {x + 9} - 3} \right)\left( {\sqrt {9 - x} + 3} \right) = 9.$

Điều kiện: $ - 9 \le x \le 9$.

Ta có $\left( {\sqrt {x + 9} - 3} \right)\left( {\sqrt {9 - x} + 3} \right) = \frac{9}{2} \Leftrightarrow \sqrt {81 - {x^2}} + 3\left( {\sqrt {x + 9} - \sqrt {9 - x} } \right) - \frac{{27}}{2} = 0.$

Đặt $t = \sqrt {x + 9} - \sqrt {9 - x} $, suy ra ${t^2} = 18 - 2\sqrt {81 - {x^2}} $, ta có phương trình

$\frac{{18 - {t^2}}}{2} + 3t - \frac{{27}}{2} = 0 \Leftrightarrow - \frac{{{t^2}}}{2} + 3t - \frac{9}{2} = 0 \Leftrightarrow - \frac{1}{2}{(t - 3)^2} = 0 \Leftrightarrow t = 3$.

Với $t = 3$, ta có $\sqrt {x + 9} - \sqrt {9 - x} = 3 \Leftrightarrow \sqrt {x + 9} = 3 + \sqrt {9 - x} $

$ \Leftrightarrow x + 9 = 18 - x + 6\sqrt {9 - x} \Leftrightarrow 6\sqrt {9 - x} = 2x - 9$

$ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ge \frac{9}{2}\\36(9 - x) = 4{x^2} - 36x + 81\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ge \frac{9}{2}\\4{x^2} = 243\end{array} \right. \Leftrightarrow x = \frac{{9\sqrt 3 }}{2}$ (thỏa mãn).

Vậy $S = \left\{ {\frac{{9\sqrt 3 }}{2}} \right\}$.

Câu 4

Cho tam giác nhọn ABC ($AB < AC$) nội tiếp đường tròn (O), có đường cao AD và trực tâm H. Gọi E là điểm trên (O) sao cho hai dây AE và BC song song với nhau. Đường thẳng EH cắt (O) tại điểm thứ hai là F và cắt đường trung trực của BC tại M.

a) Chứng minh M là trung điểm của EH và AMOF là tứ giác nội tiếp.

b) Chứng minh $\widehat {OFA} + \widehat {ODF} = 180^\circ .$

c) Gọi K là điểm đối xứng với A qua O. Tiếp tuyến của (O) tại A cắt đường thẳng FK tại T. Chứng minh hai đường thẳng TH và BC song song với nhau.

Xem đáp án

Lời giải

$Cho tam giác nhọn ABC ($AB < AC$) nội tiếp đường tròn (O), có đường cao AD và trực tâm H. Gọi E là điểm trên (O) sao (ảnh 1)$

a) Chứng minh M là trung điểm của EH và AMOF là tứ giác nội tiếp.

Vì hai dây AE và BC song song nên AH vuông góc với AE và trung trực của BC cũng là trung trực của AE.

Tam giác AEH vuông tại A nên đường trung trực của AE cũng chính là đường trung bình của tam giác đó. Suy ra M là trung điểm của EH.

Do đó $MA = ME = MH$, suy ra $\widehat {AMH} = \widehat {AEM} + \widehat {EAM} = 2\widehat {AEM}$, hay $\widehat {AMF} = 2\widehat {AEF}$.

Mặt khác, ta có $\widehat {AOF} = 2\widehat {AEF}$ (góc ở tâm và góc nội tiếp cùng chắn chung AF)

Suy ra $\widehat {AMF} = \widehat {AOF}$, do đó tứ giác AMOF nội tiếp. (1)

b) Chứng minh $\widehat {OFA} + \widehat {ODF} = 180^\circ .$

Gọi N là giao điểm thứ hai của AH với (O).

Ta có $\widehat {CBN} = \widehat {CAN}$ (cùng chắn cung CN).

Ta lại có $\widehat {CBH} = \widehat {CAN}$ (cùng phụ với $\widehat {ACB}$). Suy ra $\widehat {CBH} = \widehat {CBN}$.

Tam giác BHN có BD vừa là đường cao vừa là phân giác nên D là trung điểm của HN.

Tứ giác AENF nội tiếp (O) và AN cắt EF tại H nên ta có

${\rm{HA}}{\rm{.HN = HE}}{\rm{.HF}} \Leftrightarrow HA.2HD = 2HM.HF \Leftrightarrow HA.HD = HM.HF$.

Suy ra tứ giác AMDF nội tiếp. (2)

Từ (1) và (2) ta có AODF nội tiếp. Suy ra \[\widehat {OAF} + \widehat {ODF} = 180^\circ \].

Mặt khác, tam giác OAF cân tại O nên $\widehat {OAF} = \widehat {OFA}$.

Suy ra \[\widehat {OFA} + \widehat {ODF} = 180^\circ \].

c) Gọi K là điểm đối xứng với A qua O. Tiếp tuyến của (O) tại A cắt đường thẳng FK tại T. Chứng minh hai đường thẳng TH và BC song song với nhau.

Ta có $\widehat {ATF} = \widehat {FAK}$ (cùng phụ với $\widehat {AKF}$). (3)

Ta lại có $\widehat {EAN} = 90^\circ $ nên EN là đường kính của (O).

Tứ giác AEKN có hai đường chéo AK và NE bằng nhau và cắt nhau tại trung điểm mỗi đường nên AEKN là hình chữ nhật. Suy ra $AE = NK$, hay

Ta có

Từ (3) và (4) suy ra $\widehat {ATF} = \widehat {AHE}$, do đó tứ giác ATFH là tứ giác nội tiếp.

Suy ra $\widehat {AHT} = \widehat {AFT} = 90^\circ $.

Ta có $AH \bot TH$ và $AH \bot BC$ nên $TH{\rm{ // }}BC$.

Câu 5

a) Tìm tất cả các số thực a sao cho $a + \sqrt {2023} $ và $\frac{{999}}{a} + \sqrt {2023} $ đều là các số nguyên.

b) Cho hai số thực dương $a,b$ thỏa mãn $4{a^2} + {b^2} = 2$. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
$T = \frac{{4a}}{{2 + b}} + \frac{b}{{1 + a}} + \frac{{2024}}{{2a + b}}$.

Xem đáp án

Lời giải

a) Tìm tất cả các số thực a sao cho $a + \sqrt {2023} $ và $\frac{{999}}{a} + \sqrt {2023} $ đều là các số nguyên.

Đặt \[\left\{ \begin{array}{l}x = a + \sqrt {2023} \\y = \frac{{999}}{a} + \sqrt {2023} \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = x - \sqrt {2023} \\y = \frac{{999}}{{x - \sqrt {2023} }} + \sqrt {2023} \end{array} \right..\]

Ta có \[y = \frac{{999}}{{x - \sqrt {2023} }} + \sqrt {2023} \Leftrightarrow xy - y\sqrt {2023} = 999 + x\sqrt {2023} - 2023\]

\[ \Leftrightarrow xy + 1024 = \left( {x + y} \right)\sqrt {2023} \].

Vì x, y nguyên nên $x + y = 0$, suy ra $y = - x$ và $xy + 1024 = 0$.

Do đó $x = \pm 32$. Vậy $a = \pm 32 - \sqrt {2023} $.

b) Cho hai số thực dương $a,b$ thỏa mãn $4{a^2} + {b^2} = 2$. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

$T = \frac{{4a}}{{2 + b}} + \frac{b}{{1 + a}} + \frac{{2024}}{{2a + b}}$.

Ta có \[4{a^2} + {b^2} \ge 4ab \Leftrightarrow 2\left( {4{a^2} + {b^2}} \right) \ge {\left( {2a + b} \right)^2}\]

$ \Leftrightarrow 4 \ge {\left( {2a + b} \right)^2} \Leftrightarrow 2a + b \le 2 \Leftrightarrow a + \frac{b}{2} \le 1$.

Đặt $x = a;y = \frac{b}{2}$ , ta có $x + y \le 1$.

Khi đó $\frac{1}{2}T = \frac{a}{{1 + \frac{b}{2}}} + \frac{b}{{2\left( {1 + a} \right)}} + \frac{{506}}{{a + \frac{b}{2}}} = \frac{x}{{1 + y}} + \frac{y}{{1 + x}} + \frac{{506}}{{x + y}}.$

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy, ta có

• $\frac{x}{{1 + y}} + \frac{4}{9}x\left( {1 + y} \right) \ge \frac{4}{3}x \Leftrightarrow \frac{x}{{1 + y}} \ge \frac{8}{9}x - \frac{4}{9}xy$.

• $\frac{y}{{1 + x}} + \frac{4}{9}y\left( {1 + x} \right) \ge \frac{4}{3}y \Leftrightarrow \frac{y}{{1 + x}} \ge \frac{8}{9}y - \frac{4}{9}xy$.

Suy ra $\frac{1}{2}T \ge \frac{8}{9}\left( {x + y} \right) - \frac{8}{9}xy + \frac{{506}}{{x + y}} \ge \frac{8}{9}\left( {x + y} \right) + \frac{8}{{9(x + y)}} + \frac{{4546}}{{9(x + y)}} - \frac{8}{9}xy$.$ \ge \frac{8}{9}.2 + \frac{{4546}}{9} - \frac{8}{9}.\frac{1}{4} = \frac{{1520}}{3}$. ( để ý $xy \le {\left( {\frac{{x + y}}{2}} \right)^2} \le \frac{1}{4}$)

Do đó $T \ge \frac{{3040}}{3}$. Dấu “$ = $” xảy ra khi và chỉ khi $x = y = \frac{1}{2}$ hay $a = \frac{1}{2};b = 1$.

Vậy giá trị nhỏ nhất của T bằng $\frac{{3040}}{3}$ đạt được khi $a = \frac{1}{2};b = 1$.

Toán

Văn

Vật lý

Hóa học

Lịch sử

Địa lý

Sinh học

Công nghệ

Tin học

Tiếng Anh

Giáo dục Kinh tế và Pháp luật

ĐHQG Hồ Chí Minh

ĐH Bách Khoa

ĐHQG Hà Nội

Bộ Công an

ĐHSP Hà Nội

Bằng lái xe

English Test

IT Test

Đại học

Viên chức

Toán

Văn

Vật lý

Hóa học

Lịch sử

Địa lý

Sinh học

Công nghệ

Tin học

Giáo dục Kinh tế và Pháp luật

Toán

Văn

Vật lý

Hóa học

Lịch sử

Địa lý

Sinh học

Công nghệ

Tin học

Giáo dục Kinh tế và Pháp luật

Toán

Văn

Vật lý

Hóa học

Lịch sử

Địa lý

Sinh học

Tin học

Giáo dục Kinh tế và Pháp luật

Global success

iLearn Smart World

Friends Global

Explore new worlds

Bright

Toán

Văn

Vật lý

Hóa học

Lịch sử

Địa lý

Sinh học

Công nghệ

Tin học

Giáo dục Quốc Phòng và An Ninh

Giáo dục Kinh tế và Pháp luật

Toán

Văn

Vật lý

Hóa học

Lịch sử

Địa lý

Sinh học

Công nghệ

Tin học

Giáo dục Quốc Phòng và An Ninh

Giáo dục Kinh tế và Pháp luật

Toán

Văn

Vật lý