a) Tìm tất cả các số thực a sao cho \(a + \sqrt {2023} \) và \(\frac{{999}}{a} + \sqrt {2023} \) đều là các số nguyên.
b) Cho hai số thực dương \(a,b\) thỏa mãn \(4{a^2} + {b^2} = 2\). Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
\(T = \frac{{4a}}{{2 + b}} + \frac{b}{{1 + a}} + \frac{{2024}}{{2a + b}}\).
a) Tìm tất cả các số thực a sao cho \(a + \sqrt {2023} \) và \(\frac{{999}}{a} + \sqrt {2023} \) đều là các số nguyên.
b) Cho hai số thực dương \(a,b\) thỏa mãn \(4{a^2} + {b^2} = 2\). Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
\(T = \frac{{4a}}{{2 + b}} + \frac{b}{{1 + a}} + \frac{{2024}}{{2a + b}}\).Quảng cáo
Trả lời:
Giải bởi Vietjack
a) Tìm tất cả các số thực a sao cho \(a + \sqrt {2023} \) và \(\frac{{999}}{a} + \sqrt {2023} \) đều là các số nguyên.
Đặt \[\left\{ \begin{array}{l}x = a + \sqrt {2023} \\y = \frac{{999}}{a} + \sqrt {2023} \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = x - \sqrt {2023} \\y = \frac{{999}}{{x - \sqrt {2023} }} + \sqrt {2023} \end{array} \right..\]
Ta có \[y = \frac{{999}}{{x - \sqrt {2023} }} + \sqrt {2023} \Leftrightarrow xy - y\sqrt {2023} = 999 + x\sqrt {2023} - 2023\]
\[ \Leftrightarrow xy + 1024 = \left( {x + y} \right)\sqrt {2023} \].
Vì x, y nguyên nên \(x + y = 0\), suy ra \(y = - x\) và \(xy + 1024 = 0\).
Do đó \(x = \pm 32\). Vậy \(a = \pm 32 - \sqrt {2023} \).
b) Cho hai số thực dương \(a,b\) thỏa mãn \(4{a^2} + {b^2} = 2\). Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
\(T = \frac{{4a}}{{2 + b}} + \frac{b}{{1 + a}} + \frac{{2024}}{{2a + b}}\).
Ta có \[4{a^2} + {b^2} \ge 4ab \Leftrightarrow 2\left( {4{a^2} + {b^2}} \right) \ge {\left( {2a + b} \right)^2}\]
\( \Leftrightarrow 4 \ge {\left( {2a + b} \right)^2} \Leftrightarrow 2a + b \le 2 \Leftrightarrow a + \frac{b}{2} \le 1\).
Đặt \(x = a;y = \frac{b}{2}\) , ta có \(x + y \le 1\).
Khi đó \(\frac{1}{2}T = \frac{a}{{1 + \frac{b}{2}}} + \frac{b}{{2\left( {1 + a} \right)}} + \frac{{506}}{{a + \frac{b}{2}}} = \frac{x}{{1 + y}} + \frac{y}{{1 + x}} + \frac{{506}}{{x + y}}.\)
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy, ta có
• \(\frac{x}{{1 + y}} + \frac{4}{9}x\left( {1 + y} \right) \ge \frac{4}{3}x \Leftrightarrow \frac{x}{{1 + y}} \ge \frac{8}{9}x - \frac{4}{9}xy\).
• \(\frac{y}{{1 + x}} + \frac{4}{9}y\left( {1 + x} \right) \ge \frac{4}{3}y \Leftrightarrow \frac{y}{{1 + x}} \ge \frac{8}{9}y - \frac{4}{9}xy\).
Suy ra \(\frac{1}{2}T \ge \frac{8}{9}\left( {x + y} \right) - \frac{8}{9}xy + \frac{{506}}{{x + y}} \ge \frac{8}{9}\left( {x + y} \right) + \frac{8}{{9(x + y)}} + \frac{{4546}}{{9(x + y)}} - \frac{8}{9}xy\).\( \ge \frac{8}{9}.2 + \frac{{4546}}{9} - \frac{8}{9}.\frac{1}{4} = \frac{{1520}}{3}\). ( để ý \(xy \le {\left( {\frac{{x + y}}{2}} \right)^2} \le \frac{1}{4}\))
Do đó \(T \ge \frac{{3040}}{3}\). Dấu “\( = \)” xảy ra khi và chỉ khi \(x = y = \frac{1}{2}\) hay \(a = \frac{1}{2};b = 1\).
Vậy giá trị nhỏ nhất của T bằng \(\frac{{3040}}{3}\) đạt được khi \(a = \frac{1}{2};b = 1\).
Hot: 1000+ Đề thi cuối kì 1 file word cấu trúc mới 2025 Toán, Văn, Anh... lớp 1-12 (chỉ từ 60k). Tải ngay
Sách thầy cô Vietjack biên soạn:
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Lời giải
|
a) Chứng minh giá trị của biểu thức \(P = \left( {\frac{{2 + \sqrt a }}{{a + 2\sqrt a + 1}} - \frac{{\sqrt a - 2}}{{a - 1}}} \right):\frac{{\sqrt a }}{{a\sqrt a + a - \sqrt a - 1}}\) không phụ thuộc vào giá trị của a, với \(a > 0\) và \(a \ne 1\). |
|
Với \(a > 0,a \ne 1\) ta có: \(P = \left[ {\frac{{2 + \sqrt a }}{{{{\left( {\sqrt a + 1} \right)}^2}}} - \frac{{\sqrt a - 2}}{{\left( {\sqrt a - 1} \right)\left( {\sqrt a + 1} \right)}}} \right]:\frac{{\sqrt a }}{{\left( {a - 1} \right)\left( {\sqrt a + 1} \right)}}\) |
|
\( = \left[ {\frac{{\left( {\sqrt a + 2} \right)\left( {\sqrt a - 1} \right) - \left( {\sqrt a - 2} \right)\left( {\sqrt a + 1} \right)}}{{\left( {\sqrt a - 1} \right){{\left( {\sqrt a + 1} \right)}^2}}}} \right].\frac{{\left( {a - 1} \right)\left( {\sqrt a + 1} \right)}}{{\sqrt a }}\) |
|
\( = \left[ {\frac{{2\sqrt a }}{{\left( {\sqrt a - 1} \right){{\left( {\sqrt a + 1} \right)}^2}}}} \right].\frac{{\left( {\sqrt a - 1} \right){{\left( {\sqrt a + 1} \right)}^2}}}{{\sqrt a }} = 2.\) Vậy giá trị của P không phụ thuộc vào giá trị của a. |
|
b) Cho a, b, c là ba số nguyên dương thỏa mãn \(\frac{4}{a} + \frac{2}{b} = \frac{1}{c}\). Chứng minh \(Q = {a^2} + 4{b^2} + 16{c^2}\) là một số chính phương. |
|
Ta có \(\frac{4}{a} + \frac{2}{b} = \frac{1}{c} \Leftrightarrow ab = 2ac + 4bc \Leftrightarrow ab - 2ac - 4bc = 0.\) |
|
Khi đó \(Q = {a^2} + 4{b^2} + 16{c^2} = {a^2} + 4{b^2} + 16{c^2} + 4\left( {ab - 2ac - 4bc} \right)\) |
|
\( = {(a + 2b - 4c)^2}\) là một số chính phương. |
Lời giải
a) Trên mặt phẳng tọa độ \(Oxy,\) cho parabol \(\left( P \right):y = 2{x^2}\) và đường thẳng \(\left( d \right):y = \frac{1}{2}x + m\). Tìm tất cả các giá trị của \[m\] để \(\left( d \right)\) cắt \(\left( P \right)\) tại hai điểm phân biệt \(A,{\rm{ }}B\) sao cho tam giác \(OAB\) vuông tại A.
Phương trình hoành độ giao điểm của (d) và (P):
\(2{x^2} = \frac{1}{2}x + m \Leftrightarrow 4{x^2} - x - 2m = 0\) (1).
(d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt A, B \( \Leftrightarrow \) (1) có hai nghiệm phân biệt
\( \Leftrightarrow \Delta = 1 + 32m > 0 \Leftrightarrow m > - \frac{1}{{32}}\).
Vì tam giác \(OAB\) vuông tại A nên \(OA \bot AB\), hay \(OA \bot (d)\).
Mặt khác, đường thẳng OA đi qua O nên OA có phương trình là \(y = - 2x\).
Phương trình hoành độ giao điểm của OA và (P): \(2{x^2} = - 2x\).
Phương trình có hai nghiệm \({x_1} = 0;{x_2} = - 1\), suy ra \(A( - 1;2)\).
Vì (d) đi qua A nên \(2 = \frac{1}{2}.( - 1) + m\), suy ra \(m = \frac{5}{2}\) (thỏa mãn).
Vậy \(m = \frac{5}{2}\) là giá trị cần tìm.
b) Giải hệ phương trình \[\left\{ \begin{array}{l}\sqrt {x - 2y - 3} + 2{y^2} + 4y = 0{\rm{ (1)}}\\{x^2} + 1 = xy{\rm{ (2)}}\end{array} \right..\]
Dễ thấy \(x = 0\) không thỏa (2) nên \((2) \Leftrightarrow y = x + \frac{1}{x}\). Thay vào (1), ta được
\(\sqrt { - x - \frac{2}{x} - 3} + 2{\left( {x + \frac{1}{x}} \right)^2} + 4\left( {x + \frac{1}{x}} \right) = 0\)
\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \sqrt { - x - \frac{2}{x} - 3} + 2\left( {{x^2} + 2x + 1} \right) + 2\left( {\frac{1}{{{x^2}}} + \frac{2}{x} + 1} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \sqrt { - x - \frac{2}{x} - 3} + 2{\left( {x + 1} \right)^2} + 2{\left( {\frac{1}{x} + 1} \right)^2} = 0\end{array}\)
\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow - x - \frac{2}{x} - 3 = x + 1 = \frac{1}{x} + 1 = 0\\ \Leftrightarrow x = - 1.\end{array}\)
Với \(x = - 1\), ta suy ra \(y = - 2\).
Vậy hệ pt đã cho có nghiệm duy nhất \((x;y) = ( - 1; - 2)\).
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Nhắn tin Zalo
Hỏi bài tập