Cho tam giác nhọn ABC (\(AB < AC\)) nội tiếp đường tròn (O), có đường cao AD và trực tâm H. Gọi E là điểm trên (O) sao cho hai dây AE và BC song song với nhau. Đường thẳng EH cắt (O) tại điểm thứ hai là F và cắt đường trung trực của BC tại M.

a) Chứng minh M là trung điểm của EH và AMOF là tứ giác nội tiếp.

b) Chứng minh \(\widehat {OFA} + \widehat {ODF} = 180^\circ .\)

c) Gọi K là điểm đối xứng với A qua O. Tiếp tuyến của (O) tại A cắt đường thẳng FK tại T. Chứng minh hai đường thẳng TH và BC song song với nhau.

a) Chứng minh M là trung điểm của EH và AMOF là tứ giác nội tiếp.

Vì hai dây AE và BC song song nên AH vuông góc với AE và trung trực của BC cũng là trung trực của AE.

Tam giác AEH vuông tại A nên đường trung trực của AE cũng chính là đường trung bình của tam giác đó. Suy ra M là trung điểm của EH.

Do đó \(MA = ME = MH\), suy ra \(\widehat {AMH} = \widehat {AEM} + \widehat {EAM} = 2\widehat {AEM}\), hay \(\widehat {AMF} = 2\widehat {AEF}\).

Mặt khác, ta có \(\widehat {AOF} = 2\widehat {AEF}\) (góc ở tâm và góc nội tiếp cùng chắn chung AF)

Suy ra \(\widehat {AMF} = \widehat {AOF}\), do đó tứ giác AMOF nội tiếp. (1)

b) Chứng minh \(\widehat {OFA} + \widehat {ODF} = 180^\circ .\)

Gọi N là giao điểm thứ hai của AH với (O).

Ta có \(\widehat {CBN} = \widehat {CAN}\) (cùng chắn cung CN).

Ta lại có \(\widehat {CBH} = \widehat {CAN}\) (cùng phụ với \(\widehat {ACB}\)). Suy ra \(\widehat {CBH} = \widehat {CBN}\).

Tam giác BHN có BD vừa là đường cao vừa là phân giác nên D là trung điểm của HN.

Tứ giác AENF nội tiếp (O) và AN cắt EF tại H nên ta có

\({\rm{HA}}{\rm{.HN = HE}}{\rm{.HF}} \Leftrightarrow HA.2HD = 2HM.HF \Leftrightarrow HA.HD = HM.HF\).

Suy ra tứ giác AMDF nội tiếp. (2)

Từ (1) và (2) ta có AODF nội tiếp. Suy ra \[\widehat {OAF} + \widehat {ODF} = 180^\circ \].

Mặt khác, tam giác OAF cân tại O nên \(\widehat {OAF} = \widehat {OFA}\).

Suy ra \[\widehat {OFA} + \widehat {ODF} = 180^\circ \].

c) Gọi K là điểm đối xứng với A qua O. Tiếp tuyến của (O) tại A cắt đường thẳng FK tại T. Chứng minh hai đường thẳng TH và BC song song với nhau.

Ta có \(\widehat {ATF} = \widehat {FAK}\) (cùng phụ với \(\widehat {AKF}\)). (3)

Ta lại có \(\widehat {EAN} = 90^\circ \) nên EN là đường kính của (O).

Tứ giác AEKN có hai đường chéo AK và NE bằng nhau và cắt nhau tại trung điểm mỗi đường nên AEKN là hình chữ nhật. Suy ra \(AE = NK\), hay

Ta có

Từ (3) và (4) suy ra \(\widehat {ATF} = \widehat {AHE}\), do đó tứ giác ATFH là tứ giác nội tiếp.

Suy ra \(\widehat {AHT} = \widehat {AFT} = 90^\circ \).

Ta có \(AH \bot TH\) và \(AH \bot BC\) nên \(TH{\rm{ // }}BC\).