a) Chứng minh giá trị của biểu thức không phụ thuộc vào giá trị của a, với \(a > 0\) và \(a \ne 1\).

b) Cho a, b, c là ba số nguyên dương thỏa mãn \(\frac{4}{a} + \frac{2}{b} = \frac{1}{c}\). Chứng minh \(Q = {a^2} + 4{b^2} + 16{c^2}\) là một số chính phương.

a) Tìm m để phương trình \({x^2} - 2\left( {m - 1} \right)x - {m^2} + 2m - 3 = 0\) (x là ẩn số) có hai nghiệm\({x_1},{\rm{ }}{x_2}\) thỏa mãn \(\sqrt {x_1^2 + 1} - {x_1} = \sqrt {x_2^2 + 1} + {x_2}\).

Ta có \(ac = - {\left( {m - 1} \right)^2} - 2 < 0\), với mọi m.

Suy ra phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi m.

Ta có \(\sqrt {x_1^2 + 1} - {x_1} = \sqrt {x_2^2 + 1} + {x_2} \Leftrightarrow \sqrt {x_1^2 + 1} - \sqrt {x_2^2 + 1} = {x_1} + {x_2}\)

\( \Leftrightarrow \frac{{x_1^2 - x_2^2}}{{\sqrt {x_1^2 + 1} + \sqrt {x_2^2 + 1} }} = {x_1} + {x_2} \Leftrightarrow \frac{{\left( {x_1^{} - x_2^{}} \right)\left( {{x_1} + {x_2}} \right)}}{{\sqrt {x_1^2 + 1} + \sqrt {x_2^2 + 1} }} = {x_1} + {x_2}\)

\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = 0\\\sqrt {x_1^2 + 1} + \sqrt {x_2^2 + 1} = {x_1} - {x_2}\end{array} \right..\)

TH1: \({x_1} + {x_2} = 0 \Leftrightarrow 2(m - 1) = 0 \Leftrightarrow m = 1\).

TH2: \(\sqrt {x_1^2 + 1} + \sqrt {x_2^2 + 1} = {x_1} - {x_2} \Leftrightarrow \left( {\sqrt {x_1^2 + 1} - {x_1}} \right) + \left( {\sqrt {x_2^2 + 1} + {x_2}} \right) = 0\) (vô lý).

Vậy \(m = 1\).

b) Giải phương trình \(2\left( {\sqrt {x + 9} - 3} \right)\left( {\sqrt {9 - x} + 3} \right) = 9.\)

Điều kiện: \( - 9 \le x \le 9\).

Ta có \(\left( {\sqrt {x + 9} - 3} \right)\left( {\sqrt {9 - x} + 3} \right) = \frac{9}{2} \Leftrightarrow \sqrt {81 - {x^2}} + 3\left( {\sqrt {x + 9} - \sqrt {9 - x} } \right) - \frac{{27}}{2} = 0.\)

Đặt \(t = \sqrt {x + 9} - \sqrt {9 - x} \), suy ra \({t^2} = 18 - 2\sqrt {81 - {x^2}} \), ta có phương trình

\(\frac{{18 - {t^2}}}{2} + 3t - \frac{{27}}{2} = 0 \Leftrightarrow - \frac{{{t^2}}}{2} + 3t - \frac{9}{2} = 0 \Leftrightarrow - \frac{1}{2}{(t - 3)^2} = 0 \Leftrightarrow t = 3\).

Với \(t = 3\), ta có \(\sqrt {x + 9} - \sqrt {9 - x} = 3 \Leftrightarrow \sqrt {x + 9} = 3 + \sqrt {9 - x} \)

\( \Leftrightarrow x + 9 = 18 - x + 6\sqrt {9 - x} \Leftrightarrow 6\sqrt {9 - x} = 2x - 9\)

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ge \frac{9}{2}\\36(9 - x) = 4{x^2} - 36x + 81\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ge \frac{9}{2}\\4{x^2} = 243\end{array} \right. \Leftrightarrow x = \frac{{9\sqrt 3 }}{2}\) (thỏa mãn).

Vậy \(S = \left\{ {\frac{{9\sqrt 3 }}{2}} \right\}\).