Tìm tất cả các giá trị của m để phương trình \({x^2} - 5x + 3m + 1 = 0\) (x là ẩn, m là tham số) có hai nghiệm phân biệt \({x_1},\;{x_2}\) thỏa mãn \(\left| {x_1^2 - x_2^2} \right| = 15\).

a) Điều kiện: \(x \ne 0;y \ne 0.\)

Hệ phương trình đã cho tương đương với:

                       \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\frac{{{x^2} - {y^2}}}{{xy}} = \frac{5}{6}}\\{{x^2} - {y^2} = 5}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{xy = 6\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\left( 1 \right)}\\{{x^2} - {y^2} = 5\;\;\;\;\;\;\;\;\left( 2 \right)}\end{array}} \right.\)

\( \Rightarrow {x^4} - 5{x^2} - 36 = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{{x^2} = 9\;\;\;\;\;\;\;\left( n \right)}\\{{x^2} = - 4\;\;\;\;\left( l \right)}\end{array}} \right.\)

Với \({x^2} = 9 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 3 \Rightarrow y = 2\;\;\;\;\;\;}\\{x = - 3 \Rightarrow y = - 2}\end{array}} \right.\)

Vậy nghiệm của hệ phương trình là (3;2); (-3;-2).

b) \({\left( {x - 1} \right)^4} = {x^2} - 2x + 3\;\;\;\;\;\left( 1 \right)\)

(1) \( \Leftrightarrow {\left[ {{{\left( {x - 1} \right)}^2}} \right]^2} = {x^2} - 2x + 3 \Leftrightarrow {\left( {{x^2} - 2x + 1} \right)^2} = {x^2} - 2x + 3\)    (2)

Đặt \(t = {x^2} - 2x + 1,\;t \ge 0\) phương trình (2) trở thành phương trình

                                         \({t^2} = t + 2 \Leftrightarrow {t^2} - t - 2 = 0\)

Giải phương trình ta được: \(t = 2\) (nhận) hoặc \(t = - 1\) (loại)

Với \(t = 2 \Leftrightarrow {x^2} - 2x + 1 = 2 \Leftrightarrow {x^2} - 2x - 1 = 0 \Leftrightarrow x = 1 \pm \sqrt 2 \)

Vậy tập nghiệm của phương trình là \(S = \left\{ {1 - \sqrt 2 ;1 + \sqrt 2 } \right\}.\)