Cho tam giác nhọn ABC (AB < AC) nội tiếp đường tròn (O). Kẻ đường cao AH của tam giác ABC (H thuộc BC). Gọi P, Q lần lượt là chân của đường vuông góc kẻ từ H đến các cạnh AB, AC.

a) Chứng minh \(\widehat {PQH} = \widehat {BAH}.\)

b) Hai đường thẳng PQ và BC cắt nhau tại M. Chứng minh  và \(M{H^2} = MB.MC\)

c) Đường thẳng MA cắt đường tròn (O) tại K (K khác A). KH cắt đường tròn (O) tại D (D khác K). Gọi J là trung điểm của HD. Chứng minh \(JQ = JC\)

a) Ta có: A = \(\sqrt {{{\left( {\sqrt 3 + 1} \right)}^2}} + \sqrt {{{\left( {\sqrt 5 - 1} \right)}^2}} + \) \(\frac{2}{{\sqrt 5 + \sqrt 3 }}\)

= \(\sqrt 3 + 1 + \sqrt 5 - 1 + \) \(\frac{2}{{\sqrt 5 + \sqrt 3 }}\)

= \(\sqrt 3 + \sqrt 5 + \) \(\frac{{2\left( {\sqrt 5 - \sqrt 3 } \right)}}{2}\)

= \(2\sqrt 5 \).

b) Ta có: \(\frac{1}{{\sqrt x - 1}} - \frac{{2\sqrt x }}{{x\sqrt x + \sqrt x - x - 1}} = \frac{1}{{\sqrt x - 1}} - \frac{{2\sqrt x }}{{\left( {\sqrt x - 1} \right)\left( {x + 1} \right)}} = \frac{{x + 1 - 2\sqrt x }}{{\left( {\sqrt x - 1} \right)\left( {x + 1} \right)}}\)

Và \(1 - \frac{{2\sqrt x }}{{x + 1}} = \frac{{x + 1 - 2\sqrt x }}{{x + 1}}\)

Nên P = \(\frac{{x + 1 - 2\sqrt x }}{{\left( {\sqrt x - 1} \right)\left( {x + 1} \right)}}.\frac{{x + 1}}{{x + 1 - 2\sqrt x }}\)

P = \(\frac{1}{{\sqrt x - 1}}.\)

Phương trình có hai nghiệm \({x_1},\;{x_2}\) Khi \(\Delta = {5^2} - 4\left( {3m + 1} \right) > 0 \Leftrightarrow 21 - 12m > 0\)

                                                       \( \Leftrightarrow m < \frac{7}{4}\)

Theo Vi-ét ta có: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{x_1} + {x_2} = 5}\\{{x_1}{x_2} = 3m + 1}\end{array}} \right.\)

Ta có: \(\left| {{x_1} - {x_2}} \right| = \sqrt {{{\left( {{x_1} - {x_2}} \right)}^2}} = \sqrt {{{\left( {{x_1} + {x_2}} \right)}^2} - 4{x_1}{x_2}} = \sqrt {{5^2} - 4\left( {3m + 1} \right)} = \sqrt {21 - 12m} .\)

Theo yêu cầu đề bài: \(\left| {x_1^2 - x_2^2} \right| = \left| {\left( {{x_1} + {x_2}} \right)\left( {{x_1} - {x_2}} \right)} \right|\)

           \( = \left| {5\left( {{x_1} - {x_2}} \right)} \right| = 5\left| {{x_1} - {x_2}} \right| = 5\sqrt {21 - 12m} \)

Suy ra \(\left| {x_1^2 - x_2^2} \right| = 15 \Leftrightarrow 5\sqrt {21 - 12m} = 15 \Leftrightarrow \sqrt {21 - 12m} = 3\)

\( \Leftrightarrow 21 - 12m = 9 \Leftrightarrow 12m = 12 \Leftrightarrow m = 1\) (nhận). Vậy \(m = 1\) là giá trị cần tìm.