Cho tam giác nhọn ABC (AB < AC) nội tiếp đường tròn (O). Kẻ đường cao AH của tam giác ABC (H thuộc BC). Gọi P, Q lần lượt là chân của đường vuông góc kẻ từ H đến các cạnh AB, AC.
a) Chứng minh \(\widehat {PQH} = \widehat {BAH}.\)
b) Hai đường thẳng PQ và BC cắt nhau tại M. Chứng minh và \(M{H^2} = MB.MC\)
c) Đường thẳng MA cắt đường tròn (O) tại K (K khác A). KH cắt đường tròn (O) tại D (D khác K). Gọi J là trung điểm của HD. Chứng minh \(JQ = JC\)
Cho tam giác nhọn ABC (AB < AC) nội tiếp đường tròn (O). Kẻ đường cao AH của tam giác ABC (H thuộc BC). Gọi P, Q lần lượt là chân của đường vuông góc kẻ từ H đến các cạnh AB, AC.
a) Chứng minh \(\widehat {PQH} = \widehat {BAH}.\)
b) Hai đường thẳng PQ và BC cắt nhau tại M. Chứng minh và \(M{H^2} = MB.MC\)
c) Đường thẳng MA cắt đường tròn (O) tại K (K khác A). KH cắt đường tròn (O) tại D (D khác K). Gọi J là trung điểm của HD. Chứng minh \(JQ = JC\)
Quảng cáo
Trả lời:
Giải bởi Vietjack
a) Tứ giác APHQ có
\(\widehat {APH} = {90^0}\) (gt)
\(\widehat {AQH} = {90^0}\) (gt)
=> \(\widehat {APH} + \widehat {AQH} = {180^0}\) và hai góc này ở vị trí đối nhau nên APHQ là tứ giác nội tiếp được đường tròn
=> \(\widehat {PQH} = \widehat {BAH}\)
b) Xét và có
\(\widehat {PQH} = \widehat {BHA}\) (cmt), mà \(\widehat {BAH} = \widehat {BHP}\) (cùng phụ \(\widehat {PBH})\) suy ra \(\widehat {MQH} = \widehat {MHP}\)
\(\widehat {PMH}\) là góc chung
Chứng minh được tứ giác BPQC là tứ giác nội tiếp \( \Rightarrow \widehat {MBP} = \widehat {MQC}\) (cùng bù \(\widehat {PBC}\))
Ta lại có \(\widehat {BMP}\) là góc chung
(g.g) \( \Rightarrow \frac{{MB}}{{MQ}} = \frac{{MP}}{{MC}}\; \Leftrightarrow M{H^2} = MP.MQ\) (1)
(g.g) \( \Rightarrow \frac{{MQ}}{{MH}} = \frac{{MH}}{{MP}} \Leftrightarrow M{H^2} = MP.MQ\) (2)
Từ (1) và (2) \( \Rightarrow M{H^2} = MB.MC.\)
c) Vì AKBC là tứ giác nội tiếp nên \(\widehat {MKB} = \widehat {MCA}\) (cùng bù với \(\widehat {AKB}\)), mà \(\widehat {AMC}\) là góc chung
Mà \(M{H^2} = MB.MC \Rightarrow M{H^2} = MB.MC \Rightarrow M{H^2} = MK.MA.\)
Do vuông tại H \( \Rightarrow HK\) là đường cao của tam giác AHM (vì
\( \Rightarrow AK \bot KH \Rightarrow AK \bot KD\) suy ra AD là đường kính của (O).
Suy ra \(\widehat {ACD} = {90^0}\) nên \(DC \bot AC\)
Mà \(HQ \bot AC \Rightarrow DC//HQ\) nên HQCD là hình thang.
Gọi N là trung điểm của QC (3) \( \Rightarrow JN\) là đường trung bình của hình thang HQCD
\( \Rightarrow JN//HQ \Rightarrow JN \bot QC\) (4)
Từ (3) và (4) \( \Rightarrow JN\) là đường trung trực của \(QC \Rightarrow JQ = JC\)
Hot: 1000+ Đề thi giữa kì 2 file word cấu trúc mới 2026 Toán, Văn, Anh... lớp 1-12 (chỉ từ 60k). Tải ngay
Sách thầy cô Vietjack biên soạn:
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Lời giải
Đặt P = \(\frac{{{x^2} + 10}}{{\sqrt {{x^2} + 9} }}\) = \(\sqrt {{x^2} + 9} + \) \(\frac{1}{{\sqrt {{x^2} + 9} }}\)
\( = \left( {\frac{1}{9}.\sqrt {{x^2} + 9} + \frac{1}{{\sqrt {{x^2} + 9} }}} \right) + \frac{8}{9}.\sqrt {{x^2} + 9} \)
Suy ra \(P\; \ge 2.\frac{1}{3} + \frac{8}{9}.3 = \frac{{10}}{3}\;\)
Vậy giá trị nhỏ nhất cần tìm là \(P = \frac{{10}}{3}\;{\rm{khi}}\;x = 0\)
Lời giải
a) Ta có: A = \(\sqrt {{{\left( {\sqrt 3 + 1} \right)}^2}} + \sqrt {{{\left( {\sqrt 5 - 1} \right)}^2}} + \) \(\frac{2}{{\sqrt 5 + \sqrt 3 }}\)
= \(\sqrt 3 + 1 + \sqrt 5 - 1 + \) \(\frac{2}{{\sqrt 5 + \sqrt 3 }}\)
= \(\sqrt 3 + \sqrt 5 + \) \(\frac{{2\left( {\sqrt 5 - \sqrt 3 } \right)}}{2}\)
= \(2\sqrt 5 \).
b) Ta có: \(\frac{1}{{\sqrt x - 1}} - \frac{{2\sqrt x }}{{x\sqrt x + \sqrt x - x - 1}} = \frac{1}{{\sqrt x - 1}} - \frac{{2\sqrt x }}{{\left( {\sqrt x - 1} \right)\left( {x + 1} \right)}} = \frac{{x + 1 - 2\sqrt x }}{{\left( {\sqrt x - 1} \right)\left( {x + 1} \right)}}\)
Và \(1 - \frac{{2\sqrt x }}{{x + 1}} = \frac{{x + 1 - 2\sqrt x }}{{x + 1}}\)
Nên P = \(\frac{{x + 1 - 2\sqrt x }}{{\left( {\sqrt x - 1} \right)\left( {x + 1} \right)}}.\frac{{x + 1}}{{x + 1 - 2\sqrt x }}\)
P = \(\frac{1}{{\sqrt x - 1}}.\)
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Nhắn tin Zalo
Hỏi bài tập