a) Giải hệ phương trình \(\;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\frac{x}{y} - \frac{y}{x} = \frac{5}{6}}\\{{x^2} - {y^2} = 5}\end{array}} \right.\)             

b) Giải phương trình \({\left( {x - 1} \right)^4} = {x^2} - 2x + 3\).

a) Ta có: A = \(\sqrt {{{\left( {\sqrt 3 + 1} \right)}^2}} + \sqrt {{{\left( {\sqrt 5 - 1} \right)}^2}} + \) \(\frac{2}{{\sqrt 5 + \sqrt 3 }}\)

= \(\sqrt 3 + 1 + \sqrt 5 - 1 + \) \(\frac{2}{{\sqrt 5 + \sqrt 3 }}\)

= \(\sqrt 3 + \sqrt 5 + \) \(\frac{{2\left( {\sqrt 5 - \sqrt 3 } \right)}}{2}\)

= \(2\sqrt 5 \).

b) Ta có: \(\frac{1}{{\sqrt x - 1}} - \frac{{2\sqrt x }}{{x\sqrt x + \sqrt x - x - 1}} = \frac{1}{{\sqrt x - 1}} - \frac{{2\sqrt x }}{{\left( {\sqrt x - 1} \right)\left( {x + 1} \right)}} = \frac{{x + 1 - 2\sqrt x }}{{\left( {\sqrt x - 1} \right)\left( {x + 1} \right)}}\)

Và \(1 - \frac{{2\sqrt x }}{{x + 1}} = \frac{{x + 1 - 2\sqrt x }}{{x + 1}}\)

Nên P = \(\frac{{x + 1 - 2\sqrt x }}{{\left( {\sqrt x - 1} \right)\left( {x + 1} \right)}}.\frac{{x + 1}}{{x + 1 - 2\sqrt x }}\)

P = \(\frac{1}{{\sqrt x - 1}}.\)

a) Ta có \({x^2} + x + 6 = {n^2};\left( {n,\;x \in \mathbb{Z}} \right) \Rightarrow 4{x^2} + 4x + 24 = 4{n^2}\)

     \( \Leftrightarrow 4{x^2} + 4x + 1 - 4{n^2} = - 23 \Leftrightarrow \left( {2x + 1 - 2n} \right)\left( {2x + 1 + 2n} \right) = - 23\)

TH1: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{2x + 1 - 2n = 1}\\{2x + 1 + 2n = 3}\end{array} \Rightarrow x = 5} \right.\)

TH2: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{2x + 1 - 2n = 1\;\;\;}\\{2x + 1 + 2n = - 23}\end{array} \Rightarrow x = - 6} \right.\)

b) Tìm nghiệm nguyên của phương trình \({y^2} = - 2\left( {{x^6} - {x^3}y - 32} \right).\)

Ta có \({y^2} = - 2({x^6} - {x^3}y - 32 \Leftrightarrow {x^6} + {\left( {y - {x^3}} \right)^2} = 64\)

\( \Rightarrow {x^6} \le 64 \Leftrightarrow x \le 2\) do \(x \in \mathbb{Z} \Rightarrow x \in \left\{ { - 1; - 2;0;1;2} \right\}\)

Xét các trường hợp:

+ \(x = 2 \Rightarrow {\left( {y - {x^3}} \right)^2} = 0 \Rightarrow y = 8\)

+ \(x = 1 \Rightarrow {\left( {y - {x^3}} \right)^2} = 63 \Rightarrow y \notin \mathbb{Z}\)   (loại)

+ \(x = 0 \Rightarrow {\left( {y - {x^3}} \right)^2} = 64 \Rightarrow y = 8\) và \(y = - 8\)

+ \(x = - 1 \Rightarrow {\left( {y - {x^3}} \right)^2} = 63 \Rightarrow y \notin \mathbb{Z}\) (loại)

+\(x = - 2 \Rightarrow {\left( {y - {x^3}} \right)^2} = 0 \Rightarrow y = - 8\)

Vậy nghiệm của phương trình là: \(\left( {0;8} \right);\left( {0; - 8} \right);\left( {2;8} \right);\left( { - 2; - 8} \right)\).