a) Tìm tất cả các số nguyên x sao cho giá trị của biểu thức \({x^2} + x + 6\) là một số chính phương.
b) Tìm nghiệm nguyên của phương trình \({y^2} = - 2\left( {{x^6} - {x^3}y - 32} \right).\)
a) Tìm tất cả các số nguyên x sao cho giá trị của biểu thức \({x^2} + x + 6\) là một số chính phương.
b) Tìm nghiệm nguyên của phương trình \({y^2} = - 2\left( {{x^6} - {x^3}y - 32} \right).\)
Quảng cáo
Trả lời:
Giải bởi Vietjack
a) Ta có \({x^2} + x + 6 = {n^2};\left( {n,\;x \in \mathbb{Z}} \right) \Rightarrow 4{x^2} + 4x + 24 = 4{n^2}\)
\( \Leftrightarrow 4{x^2} + 4x + 1 - 4{n^2} = - 23 \Leftrightarrow \left( {2x + 1 - 2n} \right)\left( {2x + 1 + 2n} \right) = - 23\)
TH1: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{2x + 1 - 2n = 1}\\{2x + 1 + 2n = 3}\end{array} \Rightarrow x = 5} \right.\)
TH2: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{2x + 1 - 2n = 1\;\;\;}\\{2x + 1 + 2n = - 23}\end{array} \Rightarrow x = - 6} \right.\)
b) Tìm nghiệm nguyên của phương trình \({y^2} = - 2\left( {{x^6} - {x^3}y - 32} \right).\)
Ta có \({y^2} = - 2({x^6} - {x^3}y - 32 \Leftrightarrow {x^6} + {\left( {y - {x^3}} \right)^2} = 64\)
\( \Rightarrow {x^6} \le 64 \Leftrightarrow x \le 2\) do \(x \in \mathbb{Z} \Rightarrow x \in \left\{ { - 1; - 2;0;1;2} \right\}\)
Xét các trường hợp:
+ \(x = 2 \Rightarrow {\left( {y - {x^3}} \right)^2} = 0 \Rightarrow y = 8\)
+ \(x = 1 \Rightarrow {\left( {y - {x^3}} \right)^2} = 63 \Rightarrow y \notin \mathbb{Z}\) (loại)
+ \(x = 0 \Rightarrow {\left( {y - {x^3}} \right)^2} = 64 \Rightarrow y = 8\) và \(y = - 8\)
+ \(x = - 1 \Rightarrow {\left( {y - {x^3}} \right)^2} = 63 \Rightarrow y \notin \mathbb{Z}\) (loại)
+\(x = - 2 \Rightarrow {\left( {y - {x^3}} \right)^2} = 0 \Rightarrow y = - 8\)
Vậy nghiệm của phương trình là: \(\left( {0;8} \right);\left( {0; - 8} \right);\left( {2;8} \right);\left( { - 2; - 8} \right)\).
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Đang tải chế độ Học...
Hot: 1000+ đề thi giữa kì 1 lớp 1-12 đầy đủ các môn (Update 2026) (chỉ từ 60k). Tải ngay
Đăng ký VIP để học và luyện thi không giới hạn
Trọn bộ quyền lợi trên Vietjack, trong một tài khoản.
- Phòng luyện thi cấp tốc: ĐGNL - ĐGTD, Tốt nghiệp THPT, Ôn vào 10, Ôn vào 6, Ôn Giữa kì/Cuối kì
- Hơn 200K đề thi thử, đề minh hoạ, chính thức các năm
- Với 3tr+ câu hỏi theo các mức độ Nhận biết, Thông hiểu, Vận dụng
- Tải xuống đề thi [DOCX] với đầy đủ đáp án
- Xem hàng ngàn bài giảng đính kèm củng cố thêm kiến thức
- Bao gồm tất cả các bậc từ Tiểu học đến Đại học
- Chặn hiển thị quảng cáo tăng khả năng tập trung ôn luyện
- Đăng ký ngay
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Lời giải
a) Tứ giác APHQ có
\(\widehat {APH} = {90^0}\) (gt)
\(\widehat {AQH} = {90^0}\) (gt)
=> \(\widehat {APH} + \widehat {AQH} = {180^0}\) và hai góc này ở vị trí đối nhau nên APHQ là tứ giác nội tiếp được đường tròn
=> \(\widehat {PQH} = \widehat {BAH}\)
b) Xét và có
\(\widehat {PQH} = \widehat {BHA}\) (cmt), mà \(\widehat {BAH} = \widehat {BHP}\) (cùng phụ \(\widehat {PBH})\) suy ra \(\widehat {MQH} = \widehat {MHP}\)
\(\widehat {PMH}\) là góc chung
Chứng minh được tứ giác BPQC là tứ giác nội tiếp \( \Rightarrow \widehat {MBP} = \widehat {MQC}\) (cùng bù \(\widehat {PBC}\))
Ta lại có \(\widehat {BMP}\) là góc chung
(g.g) \( \Rightarrow \frac{{MB}}{{MQ}} = \frac{{MP}}{{MC}}\; \Leftrightarrow M{H^2} = MP.MQ\) (1)
(g.g) \( \Rightarrow \frac{{MQ}}{{MH}} = \frac{{MH}}{{MP}} \Leftrightarrow M{H^2} = MP.MQ\) (2)
Từ (1) và (2) \( \Rightarrow M{H^2} = MB.MC.\)
c) Vì AKBC là tứ giác nội tiếp nên \(\widehat {MKB} = \widehat {MCA}\) (cùng bù với \(\widehat {AKB}\)), mà \(\widehat {AMC}\) là góc chung
Mà \(M{H^2} = MB.MC \Rightarrow M{H^2} = MB.MC \Rightarrow M{H^2} = MK.MA.\)
Do vuông tại H \( \Rightarrow HK\) là đường cao của tam giác AHM (vì
\( \Rightarrow AK \bot KH \Rightarrow AK \bot KD\) suy ra AD là đường kính của (O).
Suy ra \(\widehat {ACD} = {90^0}\) nên \(DC \bot AC\)
Mà \(HQ \bot AC \Rightarrow DC//HQ\) nên HQCD là hình thang.
Gọi N là trung điểm của QC (3) \( \Rightarrow JN\) là đường trung bình của hình thang HQCD
\( \Rightarrow JN//HQ \Rightarrow JN \bot QC\) (4)
Từ (3) và (4) \( \Rightarrow JN\) là đường trung trực của \(QC \Rightarrow JQ = JC\)
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Lời giải
Đặt P = \(\frac{{{x^2} + 10}}{{\sqrt {{x^2} + 9} }}\) = \(\sqrt {{x^2} + 9} + \) \(\frac{1}{{\sqrt {{x^2} + 9} }}\)
\( = \left( {\frac{1}{9}.\sqrt {{x^2} + 9} + \frac{1}{{\sqrt {{x^2} + 9} }}} \right) + \frac{8}{9}.\sqrt {{x^2} + 9} \)
Suy ra \(P\; \ge 2.\frac{1}{3} + \frac{8}{9}.3 = \frac{{10}}{3}\;\)
Vậy giá trị nhỏ nhất cần tìm là \(P = \frac{{10}}{3}\;{\rm{khi}}\;x = 0\)
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Đăng ký để học cùng Vietjack. Hoàn toàn miễn phí!
Bằng việc đăng ký, bạn đồng ý với Điều khoản sử dụng và Chính sách bảo mật của Vietjack.
Nhắn tin Zalo
Hỏi bài tập