Cho hai hàm số \(y = f\left( x \right) = {x^2}\) và \(y = g\left( x \right) = 3ax - {a^2}\) với \(a \ne 0\) là tham số.

            a. Vẽ đồ thị hàm số \[y = f\left( x \right)\] trên hệ trục tọa độ \[{\rm{Oxy}}\].

            b. Chứng minh rằng đồ thị hàm số đã cho luôn có hai giao điểm.

            c. Gọi \[{{\rm{y}}_1};{y_2}\]là tung độ giao điểm của hai đồ thị. Tìm \[a\]để \[{{\rm{y}}_1} + {y_2} = 28\].

Cho phương trình bậc hai \[{x^2} - 2mx + 2m - 3 = 0\] (\[m\] là tham số).

            a. Giải phương trình khi \[m = 0,5\].

            b. Tìm \[m\] để phương trình có hai nghiệm trái dấu.

Cây bạch đàn mỗi năm cao thêm 1m, cây phượng mỗi năm cao thêm 50cm. Lúc mới vào trường học, cây bạch  đàn cao 1m và cây phượng cao 3m. Giả sử rằng tốc độ tăng trưởng chiều cao của hai loại cây không đổi qua các  năm.

a. Viết hàm số biểu diễn chiều cao mỗi loại cây theo  

số năm tính từ lúc mới vào trường. 

Giải các phương trình và hệ phương trình sau:

            a. \(\frac{2}{{\sqrt 2 }}x + \sqrt 2 x = 4.\)

            b. \({x^4} - 18{x^2} + 81 = 0\).

            c. \(\left\{ \begin{array}{l}x + 3y = - 2\\2x - 4y = 16\end{array} \right.\).

Cho tam giác \[ABC\left( {AB < AC} \right)\] nội tiếp trong đường tròn \[\left( O \right)\]tâm O đường kính \[BC\], đường thẳng qua \[O\] vuông góc với \[BC\]cắt \[AC\]tại \[D\].

            a. Chứng minh rằng tứ giác \[ABOD\] nội tiếp.

            b. Tiếp tuyến tại điểm \[A\]với đường tròn \[\left( O \right)\]cắt đường thẳng \[BC\] tại điểm \[P\], sao cho \[PB = BO = 2cm\]. Tính độ dài đoạn \[PA\] và số đo góc \[APC\].

            c. Chứng minh rằng \[\frac{{PB}}{{PC}} = \frac{{B{A^2}}}{{A{C^2}}}\].