Cho tam giác \[ABC\left( {AB < AC} \right)\] nội tiếp trong đường tròn \[\left( O \right)\]tâm O đường kính \[BC\], đường thẳng qua \[O\] vuông góc với \[BC\]cắt \[AC\]tại \[D\].
a. Chứng minh rằng tứ giác \[ABOD\] nội tiếp.
b. Tiếp tuyến tại điểm \[A\]với đường tròn \[\left( O \right)\]cắt đường thẳng \[BC\] tại điểm \[P\], sao cho \[PB = BO = 2cm\]. Tính độ dài đoạn \[PA\] và số đo góc \[APC\].
c. Chứng minh rằng \[\frac{{PB}}{{PC}} = \frac{{B{A^2}}}{{A{C^2}}}\].
Cho tam giác \[ABC\left( {AB < AC} \right)\] nội tiếp trong đường tròn \[\left( O \right)\]tâm O đường kính \[BC\], đường thẳng qua \[O\] vuông góc với \[BC\]cắt \[AC\]tại \[D\].
a. Chứng minh rằng tứ giác \[ABOD\] nội tiếp.
b. Tiếp tuyến tại điểm \[A\]với đường tròn \[\left( O \right)\]cắt đường thẳng \[BC\] tại điểm \[P\], sao cho \[PB = BO = 2cm\]. Tính độ dài đoạn \[PA\] và số đo góc \[APC\].
c. Chứng minh rằng \[\frac{{PB}}{{PC}} = \frac{{B{A^2}}}{{A{C^2}}}\].
Quảng cáo
Trả lời:
Giải bởi Vietjack
|
Ta có \[\widehat {BAC} = 90^\circ \](góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) |
![Cho tam giác \[ABC\left( {AB < AC} \right)\] nội tiếp trong đường tròn (ảnh 1)](https://video.vietjack.com/upload2/quiz_source1/2025/12/blobid1-1766652226.png)
(hình vẽ cho câu a, 0,25đ) |
|
\[\widehat {BOD} = 90^\circ \](giả thiết) |
|
|
\[ \Rightarrow \widehat {BAC} + \widehat {BOD} = 180^\circ \]Vậy tứ giác nội tiếp |
|
|
Tam giác \[APO\] vuông tại \[A\], áp dụng định lý Pitago ta có \[P{O^2} = P{A^2} + O{A^2} \Rightarrow P{A^2} = P{O^2} - O{A^2}\] |
|
|
\[P{A^2} = {4^2} - {2^2} = 12\] \[PA = 2\sqrt 3 \,\,cm\] |
|
|
Mặt khác \[\tan \widehat {APO} = \frac{{OA}}{{AP}} = \frac{2}{{2\sqrt 3 }} = \frac{{\sqrt 3 }}{3}\] |
|
|
\[ \Rightarrow \widehat {APO} = 30^\circ \] hay \[\widehat {APC} = 30^\circ \] |
|
|
Xét hai tam giác \[PBA\] và \[PAC\] có Góc \[P\] chung \[\widehat {PAB} = \widehat {PCA}\] (cùng chắn cung) Vậy hai tam giác \[PBA\] và \[PAC\] đồng dạng, khi đó \[\frac{{PB}}{{PA}} = \frac{{PA}}{{PC}} = \frac{{BA}}{{AC}}\] |
![Cho tam giác \[ABC\left( {AB < AC} \right)\] nội tiếp trong đường tròn (ảnh 2)](https://video.vietjack.com/upload2/quiz_source1/2025/12/blobid2-1766652251.png)
|
|
\[\frac{{PB}}{{PA}} = \frac{{BA}}{{AC}}\] và \[\frac{{PA}}{{PC}} = \frac{{BA}}{{AC}}\] Nhân hai biểu thức ta được \[\frac{{PB}}{{PA}}.\frac{{PA}}{{PC}} = \frac{{BA}}{{AC}}.\frac{{BA}}{{AC}} = {\left( {\frac{{BA}}{{AC}}} \right)^2}\]\[ \Leftrightarrow \frac{{PB}}{{PC}} = \frac{{B{A^2}}}{{A{C^2}}}\] |
|
Hot: 1000+ Đề thi giữa kì 2 file word cấu trúc mới 2026 Toán, Văn, Anh... lớp 1-12 (chỉ từ 60k). Tải ngay
Sách thầy cô Vietjack biên soạn:
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Lời giải
|
\[{x^2} - 2mx + 2m - 3 = 0\] Với \[\]\[m = 0,5\] phương trình trở thành \[{x^2} - x - 2 = 0\] |
|
do \[a - b + c = 0\] nên phương trình có hai nghiệm \[{x_1} = - 1;{x_2} = - \frac{c}{a} = 2\]. |
|
Để phương trình \[{x^2} - 2mx + 2m - 3 = 0\] có hai nghiệm trái dấu thì \[a.c < 0\] |
|
\[ \Leftrightarrow 1.(2m - 3) < 0 \Leftrightarrow m < \frac{3}{2}\] |
Lời giải
|
\(y = f\left( x \right) = {x^2}\) Bảng giá trị
Vẽ đồ thị như hình bên |
 |
||||||||||||
|
Phương trình hoành độ giao điểm của hai đồ thị \[{x^2} = 3ax - {a^2} \Leftrightarrow {x^2} - 3ax + {a^2} = 0\left( * \right)\] |
|||||||||||||
|
Ta có \[\Delta = {\left( {3a} \right)^2} - 4{a^2} = 5{a^2}\] |
|||||||||||||
|
Do \[\Delta > 0\] với mọi \[a \ne 0\], nên phương trình (*) luôn có hai nghiệm, hay đồ thị hai hàm số luôn có hai giao điểm. |
|||||||||||||
|
Gọi \[{x_1},{x_2}\] là hai nghiệm của phương trình (∗) ta được Và \[{x_1} + {x_2} = 3a;{x_1}{x_2} = {a^2}\]và |
|
\[{y_1} = 3a{x_1} - {a^2};{y_2} = 3a{x_2} - {a^2}\] \[{y_1} + {y_2} = 3a\left( {{x_1} + {x_2}} \right) - 2{a^2} = 9{a^2} - 2{a^2} = 7{a^2}\] (Hoặc \[{y_1} + {y_2} = x_1^2 + x_2^2 = {\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^2} - 2{x_1}{x_2} = {\left( {3a} \right)^2} - 2{a^2} = 7{a^2}\]) |
|
\[{y_1} + {y_2} = 28 \Leftrightarrow 7{a^2} = 28 \Leftrightarrow {a^2} = 4 \Leftrightarrow a = \pm 2\] Vậy \[a = \pm 2\] thỏa đề bài |
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Nhắn tin Zalo
Hỏi bài tập