Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\) là hình vuông tâm \(O\), \[SA \bot \left( {ABCD} \right)\]. Gọi \(I\) là trung điểm của \[SC\]. Khoảng cách từ \(I\) đến mặt phẳng \(\left( {ABCD} \right)\) bằng độ dài đoạn thẳng nào?

Gọi \(I = AC \cap BD\). Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}BD \bot AI\\BD \bot AA'\end{array} \right. \Rightarrow BD \bot \left( {AIA'} \right);\quad BD = \left( {BDA'} \right) \cap \left( {ABCD} \right).\)

Do đó góc giữa hai mặt phẳng \(\left( {BDA'} \right)\) và \(\left( {ABCD} \right)\) là \(\widehat {AIA'}\).

Ta có: \(\Delta AA'I\) vuông tại \(A\), có:

\(AA' = a;AI = \frac{{a\sqrt 2 }}{2} \Rightarrow A'I = \sqrt {A{{A'}^2} + A{I^2}}  = \frac{{a\sqrt 6 }}{2} \Rightarrow \sin \widehat {AIA'} = \frac{{AA'}}{{A'I}} = \frac{{\sqrt 6 }}{3}\).

Có \(A'B'//CD\) và \(A'B' = CD\) (chúng cùng song song và bằng \(AB\)).

Do đó \(A'B'CD\) là hình bình hành \( \Rightarrow A'D//B'C\).

Do đó \(\left( {A'B,B'C} \right) = \left( {A'B,A'D} \right) = \widehat {BA'D}\).

Vì \(ABCD.A'B'C'D'\) là hình lập phương nên \(A'B = BD = DA'\).

Do đó \(\Delta A'BD\) là tam giác đều. Suy ra \(\widehat {BA'D} = 60^\circ \).