(1,0 điểm) Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy là hình vuông cạnh \(a\). Mặt bên \(SAB\) là tam giác đều, \(SCD\) là tam giác vuông cân đỉnh \(S\). Gọi \(I,\,\,J\) lần lượt là trung điểm của \(AB\) và \(CD\).

a) Chứng minh \(SI \bot SJ\).

b) Chứng minh \(SI \bot \left( {SCD} \right),\,\,SJ \bot \left( {SAB} \right)\).

Đáp án đúng là: A

Ta có \[C = \frac{{{a^{\frac{3}{4}}}\left( {{a^{\frac{3}{2}}} - {a^{\frac{4}{3}}}} \right)}}{{{a^{\frac{1}{4}}}\left( {a - {a^{\frac{5}{6}}}} \right)}} = \frac{{{a^{\frac{3}{4}}} \cdot {a^{\frac{4}{3}}}\left( {{a^{\frac{1}{6}}} - 1} \right)}}{{{a^{\frac{1}{4}}} \cdot {a^{\frac{5}{6}}}\left( {{a^{\frac{1}{6}}} - 1} \right)}} = \frac{{{a^{\frac{4}{3} + \frac{3}{4}}}}}{{{a^{\frac{1}{4} + \frac{5}{6}}}}} = \frac{{{a^{\frac{{25}}{{12}}}}}}{{{a^{\frac{{13}}{{12}}}}}} = {a^{\frac{{25}}{{12}} - \frac{{13}}{{12}}}} = a\].

a) Ta có \(A = {2^{1 - \sqrt 2 }} \cdot {2^{3 + \sqrt 2 }} \cdot {4^{\frac{1}{2}}} = {2^{1 - \sqrt 2 + 3 + \sqrt 2 }} \cdot {\left( {{2^2}} \right)^{\frac{1}{2}}}\)

                  \( = {2^4} \cdot {2^{2 \cdot \frac{1}{2}}} = {2^4} \cdot {2^1} = {2^{4 + 1}} = {2^5} = 32.\)

b) \(\log _2^2x - 5{\log _2}x - 6 \le 0\,\,\,\,\left( 1 \right)\)

ĐK: \(x > 0\,\,\left( * \right)\).

Đặt \(t = {\log _2}x\,\,\left( 2 \right)\).

\(\left( 1 \right)\) thành \({t^2} - 5t - 6 \le 0 \Leftrightarrow - 1 \le t \le 6\mathop \Leftrightarrow \limits^{\left( 2 \right)} - 1 \le {\log _2}x \le 6 \Leftrightarrow \frac{1}{2} \le x \le 64\)

So với \(\left( * \right)\): \(\left( 1 \right) \Leftrightarrow \frac{1}{2} \le x \le 64\)

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là \(S = \left[ {\frac{1}{2};64} \right]\).