Cho hình chóp \(S.ABCD\) có tất cả các cạnh đều bằng \(a\). Số đo của góc giữa hai đường thẳng \(SB\) và \(CD\) bằng        

Xét \(\Delta SAB\) vuông tại \(A,\) đường cao \(AH.\)

Ta có \(S{A^2} = SH \cdot SB \Rightarrow \frac{{SH}}{{SB}} = \frac{{S{A^2}}}{{S{B^2}}}\left( 1 \right).\)

Xét \(\Delta SAD\) vuông tại \(A,\) đường cao \(AK.\)

Ta có \(S{A^2} = SK \cdot SD \Rightarrow \frac{{SK}}{{SD}} = \frac{{S{A^2}}}{{S{D^2}}}\left( 2 \right).\)

Mà \(\left\{ \begin{array}{l}S{B^2} = S{A^2} + A{B^2}\\S{D^2} = S{A^2} + A{D^2}\\AB = AD\end{array} \right. \Rightarrow SB = SD\left( 3 \right).\)

Từ \(\left( 1 \right),\left( 2 \right)\) và \(\left( 3 \right)\)suy ra \(\frac{{SH}}{{SB}} = \frac{{SK}}{{SD}} \Rightarrow HK{\rm{//}}BD.\)

Lại có \(BD \bot AC\) (tính chất hình thoi).

Mà \(SA \bot \left( {ABCD} \right),BD \subset \left( {ABCD} \right) \Rightarrow BD \bot SA.\)

Suy ra \(BD \bot \left( {SAC} \right)\) mà \(HK{\rm{//}}BD\) nên \(HK \bot \left( {SAC} \right).\)

a) \[P = {\log _{\sqrt a }}{b^3} \cdot {\log _b}{a^4} = {\log _{{a^{\frac{1}{2}}}}}{b^3} \cdot {\log _b}{a^4} = \frac{3}{{\frac{1}{2}}} \cdot 4 \cdot {\log _a}b \cdot \frac{1}{{{{\log }_a}b}} = 24.\]

b) \[Q = {\log _{{a^2}}}\left( {{a^{10}}{b^2}} \right) + {\log _{\sqrt a }}\left( {\frac{a}{{\sqrt b }}} \right) + {\log _{\sqrt[3]{b}}}{b^{ - 2}}\]

        \[ = \frac{1}{2}\left[ {{{\log }_a}{a^{10}} + {{\log }_a}{b^2}} \right] + 2\left[ {{{\log }_a}a - {{\log }_a}\sqrt b } \right] + 3 \cdot \left( { - 2} \right){\log _b}b\]      \[ = \frac{1}{2}\left[ {10 + 2{{\log }_a}b} \right] + 2\left[ {1 - \frac{1}{2}{{\log }_a}b} \right] - 6 = 1.\]