(1,0 điểm) Tìm các giá trị nguyên của tham số \[m\] để bất phương trình \[\log 5 + \log \left( {{x^2} + 1} \right) \ge \log \left( {m{x^2} + 4x + m} \right)\] nghiệm đúng với mọi \[x\].

Hướng dẫn giải

ĐKXĐ: \[m{x^2} + 4x + m > 0,\forall x \in \mathbb{R} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m > 0\\16 - 4{m^2} < 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m > 0\\\left[ \begin{array}{l}m > 2\\m <  - 2\end{array} \right.\end{array} \right. \Leftrightarrow m > 2\].

Ta có \[\log 5 + \log \left( {{x^2} + 1} \right) \ge \log \left( {m{x^2} + 4x + m} \right) \Leftrightarrow \log 5\left( {{x^2} + 1} \right) \ge \log \left( {m{x^2} + 4x + m} \right)\]

\[ \Leftrightarrow 5\left( {{x^2} + 1} \right) \ge \left( {m{x^2} + 4x + m} \right) \Leftrightarrow \left( {5 - m} \right){x^2} - 4x + 5 - m \ge 0,\forall x \in \mathbb{R}\]

\[ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}5 - m > 0\\16 - 4{\left( {5 - m} \right)^2} \le 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m < 5\\4 \le {\left( {5 - m} \right)^2}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m < 5\\\left[ \begin{array}{l}5 - m \le  - 2\\5 - m \ge 2\end{array} \right.\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m < 5\\\left[ \begin{array}{l}m \ge 7\\m \le 3\end{array} \right.\end{array} \right. \Leftrightarrow m \le 3\].

Kết hợp với ĐKXĐ, ta được \(2 < m \le 3\).

Vì \(m \in \mathbb{Z}\) nên \[m = 3\].