Cho đường tròn \((O)\) đường kính \(AB\). lấy điểm \(C\) thuộc \((O)\) (\(C\) khác \(A\) và \(B\)), tiếp tuyến của đường tròn \((O)\)tại \(B\)cắt \(AC\) ở \(K\). Từ \(K\) kẻ tiếp tuyến \(KD\)với đường tròn \((O)\) ( \(D\)là tiếp điểm khác\(B\) )

a) Chứng minh tứ giác \(BODK\) nội tiếp.

b) Biết \(OK\) cắt \(BD\) tại \(I\). Chứng minh rằng \(OI \bot BD\) và \(KC.KA = KI.KO\)

c) Gọi \(E\) là trung điểm của \(AC\), kẻ đường kính \(CF\) của đường tròn \((O)\), \(FE\) cắt \(AI\) tại \(H\). Chứng minh rằng \(H\) là trung điểm của \(AI\).

.1a)Giải phương trình khi \[m = 0.\]

.Khi \[m = 0\] ta có phương trình  \[{x^2} - 2x - 3 = 0\]

\[\Delta  = {\left( { - 2} \right)^2} + 12 = 16 \Rightarrow \sqrt \Delta   = 4.\]

.Phương trình có hai nghiệm phân biệt

\[{x_1} = \frac{{2 + 4}}{2} = 3,\,\,{x_2} = \frac{{2 - 4}}{2} =  - 1\]

.b)Tìm \[m\] để phương trình có hai nghiệm \[{x_1},\,\,{x_2}\] sao cho biểu thức \[P = x_1^2 + x_2^2 + {\left( {{x_1}{x_2}} \right)^2}\] đạt giá trị nhỏ nhất.

.Ta có \[\Delta  = {\left( { - 2} \right)^2} - 4\left( {m - 3} \right) =  - 4m + 16\]

Để phương trình có hai nghiệm thì

\[\Delta  \ge 0 \Leftrightarrow  - 4m + 16 \ge 0 \Leftrightarrow m \le 4.\]

.Theo hệ thức Viét ta có \[\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = 2\\{x_1}{x_2} = m - 3\end{array} \right.\].

Tacó

\[P = x_1^2 + x_2^2 + {\left( {{x_1}{x_2}} \right)^2} = {\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^2} - 2{x_1}{x_2} + {\left( {{x_1}{x_2}} \right)^2} = {2^2} - 2\left( {m - 3} \right) + {\left( {m - 3} \right)^2}\]

\[P = {m^2} - 8m + 19 = {\left( {m - 4} \right)^2} + 3 \ge 3.\]

.Dấu bằng xảy ra khi \[m = 4.\] Vậy giá trị nhỏ nhất của \[P\] là \[3\] khi \[m = 4.\]

.2.Một mảnh vườn hình chữ nhật có diện tích \[600\,{{\rm{m}}^2}\]. Biết rằng nếu tăng chiều dài \[10\,{\rm{m}}\] và giảm chiều rộng \[5\,{\rm{m}}\] thì diện tích không đổi. Tính chiều dài và chiều rộng của mảnh vườn.

.Gọi chiều rộng khu vườn hình chữ nhật là \[x\,\,\left( {\rm{m}} \right),\] \[x > 5.\]

Suy ra chiều dài khu vườn là \[\frac{{600}}{x}\,\,\left( {\rm{m}} \right).\]

.Chiều dài khu vườn sau khi tăng là \[\frac{{600}}{x} + 10\,\,\left( {\rm{m}} \right).\]

Chiều rộng khu vườn sau khi giảm là \[x - 5\,\left( {\rm{m}} \right).\]

.Diện tích khu vườn sau khi tăng chiều dài \[10\,{\rm{m}}\] và giảm chiều rộng \[5\,{\rm{m}}\] thì  không đổi nên ta có phương trình

\[\left( {\frac{{600}}{x} + 10} \right)\left( {x - 5} \right) = 600.\]

.\[ \Leftrightarrow \left( {600 + 10x} \right)\left( {x - 5} \right) = 600x \Leftrightarrow 10{x^2} - 50x - 3000 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 20\\x =  - 15\,\left( {\rm{L}} \right)\end{array} \right..\]

Vậy chiều dài mảnh vườn là \[30\,\,\left( {\rm{m}} \right),\] chiều rộng mảnh vườn là \[20\,\,\left( {\rm{m}} \right).\]