Một mảnh vườn hình chữ nhật có chu vi là \[180\,{\rm{m}}\]. Nếu tăng chiều rộng mảnh vườn lên thêm \[20\,{\rm{m}}\]và giảm chiều dài đi \[20\,{\rm{m}}\]thì diện tích mảnh vườn không thay đổi.

Tính chiều dài và chiều rộng mảnh vườn.

Cho đường tròn \(\left( O \right)\) đường kính \[AB\], trên đoạn thẳng \[OB\] lấy điểm \[C\] sao cho \[C\] không trùng với \[O\] và \[B\]. Gọi \[H\] là trung điểm của \[AC\], kẻ dây cung \[DE\] của đường tròn \(\left( O \right)\) vuông góc với \[AC\] tại \[H\]. Gọi \[K\] là giao điểm của \[BD\] với đường tròn đường kính \[BC\].

a) Chứng minh tứ giác \[DHCK\] là tứ giác nội tiếp.

b) Chứng minh ba điểm \[E,\,C,\,K\] thẳng hàng.

Cho tam giác \[ABC\] vuông tại \[A\]. Biết \[AC = 8\,cm\,;\,BC = 10\,cm\].

a) Tính độ dài cạnh \[AB\].

b) Kẻ đường cao \[AH\]. Tính độ dài đoạn thẳng \[HC\].

a)   Thực hiện phép tính: \[11 - 2\sqrt {16} \]   

b)   Tìm \[b\] để đồ thị hàm số \[y = 2x + b\] đi qua điểm \[M\left( {1\,;\,4} \right)\].

c) Giải phương trình: \[{x^2} - 6x + 5 = 0\].

d) Giải hệ phương trình: \[\left\{ \begin{array}{l}x + y = 3\\2x + y = 5\end{array} \right.\]

Trong mặt phẳng tọa độ \[Oxy\],  cho đường thẳng \[\left( d \right)\,:\,y = 2mx - {m^2} + 1\] và parabol \[\left( P \right)\,:\,y = {x^2}\](\[m\]là tham số).

a)     Chứng minh đường thẳng \[\left( d \right)\] luôn cắt parabol \[\left( P \right)\] tại hai điểm phân biệt.

b)    Tìm tất cả các giá trị của \[m\] để đường thẳng \[\left( d \right)\] luôn cắt parabol \[\left( P \right)\] tại hai điểm phân biệt có hoành độ \[{x_1}\] và \[{x_2}\]thỏa mãn \[\frac{1}{{{x_1}}} + \frac{1}{{{x_2}}} = \frac{{ - 2}}{{{x_1}{x_2}}} + 1\].