Cho đường tròn \(\left( O \right)\) đường kính \[AB\], trên đoạn thẳng \[OB\] lấy điểm \[C\] sao cho \[C\] không trùng với \[O\] và \[B\]. Gọi \[H\] là trung điểm của \[AC\], kẻ dây cung \[DE\] của đường tròn \(\left( O \right)\) vuông góc với \[AC\] tại \[H\]. Gọi \[K\] là giao điểm của \[BD\] với đường tròn đường kính \[BC\].

a) Chứng minh tứ giác \[DHCK\] là tứ giác nội tiếp.

b) Chứng minh ba điểm \[E,\,C,\,K\] thẳng hàng.

Phương trình hoành độ giao điểm của parabol \[\left( P \right)\,\]và đường thẳng \[\left( d \right)\,\]là

\[{x^2} = 2mx - {m^2} + 1 \Leftrightarrow {x^2} - 2mx + {m^2} - 1 = 0\,\,\,\,\left( * \right)\]

a) Ta có \[\Delta  = {m^2} - 1\, \cdot \left( {{m^2} - 1} \right) = 1 > 0,\,\forall m\]. Phương trình (*) luôn có 2 nghiệm phân biệt nên đường thẳng \[\left( d \right)\,\]luôn cắt parabol \[\left( P \right)\,\]tại hai điểm phân biệt.

b) Theo định lí Viet ta có \[\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = 2m\\{x_1} \cdot {x_2} = {m^2} - 1\end{array} \right.\] (1).

 Điều kiện \[{x_1} \ne 0,\,\,{x_2} \ne 0\]. Suy ra \[{m^2} - 1 \ne 0 \Leftrightarrow m \ne  \pm 1\] .

Theo giả thiết \[\frac{1}{{{x_1}}} + \frac{1}{{{x_2}}} = \frac{{ - 2}}{{{x_1}{x_2}}} + 1 \Leftrightarrow \frac{{{x_1} + {x_2}}}{{{x_1}{x_2}}} = \frac{{ - 2 + {x_1}{x_2}}}{{{x_1}{x_2}}}\]\[ \Leftrightarrow {x_1} + \,{x_2} =  - 2 + {x_1}{x_2}\] (2)

Thay (1) vào (2) ta được: \[2m =  - 2 + {m^2} - 1 \Leftrightarrow {m^2} - 2m - 3 = 0\]\[ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m =  - 1\\m = 3\end{array} \right.\]

Kết hợp với điều kiện ta thấy \[m = 3\] thỏa mãn.

a) \[11 - 2\sqrt {16}  = 11 - 2\sqrt {{4^2}}  = 11 - 2.4 = 3\]

b) Để đồ thị hàm số \[y = 2x + b\] đi qua điểm \[M\left( {1\,;\,4} \right)\]ta có \[4 = 2\,.\,1 + b \Leftrightarrow b = 2\]

Vậy giá trị của \[b\]thỏa mãn yêu cầu bài toán là \[b = 2\].

c) Ta có \[a + b + c = 1 - 6 + 5 = 0\]

Áp dụng định lí Viet, phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt là: \[\left[ \begin{array}{l}{x_1} = 1\\{x_2} = 5\end{array} \right.\] 

Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt là \[{x_1} = 1\,,\,{x_2} = 5\].

d) Giải hệ phương trình: \[\left\{ \begin{array}{l}x + y = 3\,\,\,\,\,\,\,\left( 1 \right)\\2x + y = 5\,\,\,\,\,\,\left( 2 \right)\end{array} \right.\]

Trừ vế theo vế phương trình (2) cho phương trình (1) ta được \[x = 2\].

Thay vào phương trình (1) ta có \[y = 1\].

Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm là \[\left( {x\,;\,y} \right) = \left( {2\,;\,1} \right)\].