Trong mặt phẳng tọa độ \[Oxy\],  cho đường thẳng \[\left( d \right)\,:\,y = 2mx - {m^2} + 1\] và parabol \[\left( P \right)\,:\,y = {x^2}\](\[m\]là tham số).

a)     Chứng minh đường thẳng \[\left( d \right)\] luôn cắt parabol \[\left( P \right)\] tại hai điểm phân biệt.

b)    Tìm tất cả các giá trị của \[m\] để đường thẳng \[\left( d \right)\] luôn cắt parabol \[\left( P \right)\] tại hai điểm phân biệt có hoành độ \[{x_1}\] và \[{x_2}\]thỏa mãn \[\frac{1}{{{x_1}}} + \frac{1}{{{x_2}}} = \frac{{ - 2}}{{{x_1}{x_2}}} + 1\].

Phương trình hoành độ giao điểm của parabol \[\left( P \right)\,\]và đường thẳng \[\left( d \right)\,\]là

\[{x^2} = 2mx - {m^2} + 1 \Leftrightarrow {x^2} - 2mx + {m^2} - 1 = 0\,\,\,\,\left( * \right)\]

a) Ta có \[\Delta  = {m^2} - 1\, \cdot \left( {{m^2} - 1} \right) = 1 > 0,\,\forall m\]. Phương trình (*) luôn có 2 nghiệm phân biệt nên đường thẳng \[\left( d \right)\,\]luôn cắt parabol \[\left( P \right)\,\]tại hai điểm phân biệt.

b) Theo định lí Viet ta có \[\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = 2m\\{x_1} \cdot {x_2} = {m^2} - 1\end{array} \right.\] (1).

 Điều kiện \[{x_1} \ne 0,\,\,{x_2} \ne 0\]. Suy ra \[{m^2} - 1 \ne 0 \Leftrightarrow m \ne  \pm 1\] .

Theo giả thiết \[\frac{1}{{{x_1}}} + \frac{1}{{{x_2}}} = \frac{{ - 2}}{{{x_1}{x_2}}} + 1 \Leftrightarrow \frac{{{x_1} + {x_2}}}{{{x_1}{x_2}}} = \frac{{ - 2 + {x_1}{x_2}}}{{{x_1}{x_2}}}\]\[ \Leftrightarrow {x_1} + \,{x_2} =  - 2 + {x_1}{x_2}\] (2)

Thay (1) vào (2) ta được: \[2m =  - 2 + {m^2} - 1 \Leftrightarrow {m^2} - 2m - 3 = 0\]\[ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m =  - 1\\m = 3\end{array} \right.\]

Kết hợp với điều kiện ta thấy \[m = 3\] thỏa mãn.