Trong mặt phẳng tọa độ \[Oxy\],  cho đường thẳng \[\left( d \right)\,:\,y = 2mx - {m^2} + 1\] và parabol \[\left( P \right)\,:\,y = {x^2}\](\[m\]là tham số).

a)     Chứng minh đường thẳng \[\left( d \right)\] luôn cắt parabol \[\left( P \right)\] tại hai điểm phân biệt.

b)    Tìm tất cả các giá trị của \[m\] để đường thẳng \[\left( d \right)\] luôn cắt parabol \[\left( P \right)\] tại hai điểm phân biệt có hoành độ \[{x_1}\] và \[{x_2}\]thỏa mãn \[\frac{1}{{{x_1}}} + \frac{1}{{{x_2}}} = \frac{{ - 2}}{{{x_1}{x_2}}} + 1\].

a) \[11 - 2\sqrt {16}  = 11 - 2\sqrt {{4^2}}  = 11 - 2.4 = 3\]

b) Để đồ thị hàm số \[y = 2x + b\] đi qua điểm \[M\left( {1\,;\,4} \right)\]ta có \[4 = 2\,.\,1 + b \Leftrightarrow b = 2\]

Vậy giá trị của \[b\]thỏa mãn yêu cầu bài toán là \[b = 2\].

c) Ta có \[a + b + c = 1 - 6 + 5 = 0\]

Áp dụng định lí Viet, phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt là: \[\left[ \begin{array}{l}{x_1} = 1\\{x_2} = 5\end{array} \right.\] 

Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt là \[{x_1} = 1\,,\,{x_2} = 5\].

d) Giải hệ phương trình: \[\left\{ \begin{array}{l}x + y = 3\,\,\,\,\,\,\,\left( 1 \right)\\2x + y = 5\,\,\,\,\,\,\left( 2 \right)\end{array} \right.\]

Trừ vế theo vế phương trình (2) cho phương trình (1) ta được \[x = 2\].

Thay vào phương trình (1) ta có \[y = 1\].

Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm là \[\left( {x\,;\,y} \right) = \left( {2\,;\,1} \right)\].

a) Áp dụng định lí Pita go trong \[\Delta ABC\] vuông ta có

\[AB = \sqrt {B{C^2} - A{C^2}}  = \sqrt {{{10}^2} - {8^2}}  = \sqrt {36}  = 6\].

b) Áp dụng hệ thức về cạnh và hình chiếu ta có

\[A{C^2} = HB.HC \Rightarrow HC = \frac{{A{C^2}}}{{BC}} = \frac{{64}}{{10}} = 6,4\,\left( {{\rm{cm}}} \right)\].