Cho tam giác \(ABC\) với tọa độ đỉnh \(C\left( {4; - 1} \right)\), đường cao kẻ từ đỉnh \(A\) là \(\left( {{d_1}} \right):2x - 3y + 12 = 0\) và đường trung tuyến kẻ từ đỉnh \(A\) là \(\left( {{d_2}} \right):2x + 3y = 0\). Lập phương trình tổng quát các đường thẳng \(AB,AC,BC\).

Vì \(BC\) vuông góc với \(\left( {{d_1}} \right)\) nên đường thẳng \(BC\) có vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow {{n_{BC}}}  = \left( {3;2} \right)\).

Phương trình đường thẳng \(BC\) là: \(3\left( {x - 4} \right) + 2\left( {y + 1} \right) = 0 \Leftrightarrow 3x + 2y - 10 = 0\).

Điểm \(A\) là giao điểm của hai đường thẳng \(\left( {{d_1}} \right)\) và \(\left( {{d_2}} \right)\) nên ta có tọa độ điểm \(A\) là nghiệm của hệ phương trình:

\(\left\{ \begin{array}{l}2x - 3y + 12 = 0\\2x + 3y = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x =  - 3\\y = 2\end{array} \right. \Rightarrow A\left( { - 3;2} \right)\).

Đường thẳng \(AC\) nhận vectơ \(\overrightarrow {AC}  = \left( {4 + 3; - 1 - 2} \right) = \left( {7; - 3} \right)\) là một vectơ chỉ phương, do đó, nó có một vectơ pháp tuyến là \(\overrightarrow {{n_{AC}}}  = \left( {3;7} \right)\).

Phương trình đường thẳng \(AC\) là:

\(3\left( {x + 3} \right) + 7\left( {y - 2} \right) = 0 \Leftrightarrow 3x + 7y - 5 = 0\).

Gọi \(M\) là trung điểm của \(BC\), khi đó điểm \(M\) là giao điểm của \({d_2}\) và \(BC\)

Tọa độ điểm \(M\) là nghiệm của hệ phương trình:

\(\left\{ \begin{array}{l}3x + 2y - 10 = 0\\2x + 3y = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 6\\y =  - 4\end{array} \right. \Rightarrow M\left( {6; - 4} \right)\).

Do \(M\) là trung điểm của \(BC\) nên ta có:

\(\left\{ \begin{array}{l}{x_B} = 2.6 - 4 = 8\\{y_B} = 2.( - 4) - ( - 1) =  - 7\end{array} \right. \Rightarrow B\left( {8; - 7} \right)\).

Đường thẳng \(AB\) nhận vectơ \(\overrightarrow {AB}  = \left( {11; - 9} \right)\) là vectơ chỉ phương và nhận vectơ \(\overrightarrow {{n_{AB}}}  = \left( {9;11} \right)\) là vectơ pháp tuyến.

Do đó, phương trình của đường thẳng \(AB\) là:

\(9\left( {x - 8} \right) + 11\left( {y + 7} \right) = 0 \Leftrightarrow 9x + 11y + 5 = 0\).