1. Rút gọn biểu thức \(A = 2\sqrt 3  - 3\sqrt {27}  + 7\sqrt {7 + 4\sqrt 3 } .\)

2. Cho biểu thức \(P = \frac{1}{{2\sqrt x  - 4}} - \frac{1}{{2\sqrt x  + 4}} + \frac{{\sqrt x }}{{x - 4}}\) (với \(x \ge 0,\,x \ne 4\)).

a) Rút gọn biểu thức \(P.\)

b) Tìm tất cả các số nguyên \(x\) để \(P\) đạt giá trị nguyên.

1.  Giải phương trình \({x^2} + 2x - 15 = 0.\)

\(\Delta ' = 1 + 15 = 16 > 0\) .

Phương trình có hai nghiệm phân biệt

\({x_1} =  - 1 + \sqrt {16}  = 3\) .

\({x_2} =  - 1 - \sqrt {16}  =  - 5\).

2.  Giải hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}x\left( {4 - 2y} \right) = 7 + y - 2xy\\2x - 14 = 2\left( {y - 3} \right)\end{array} \right..\)

\(\left\{ \begin{array}{l}x\left( {4 - 2y} \right) = 7 + y - 2xy\\2x - 14 = 2\left( {y - 3} \right)\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}4x - y = 7\\2x - 2y = 8\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}4x - y = 7\\x - y = 4\end{array} \right.\).

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}3x = 3\\x - y = 4\end{array} \right.\).

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 1\\y =  - 3\end{array} \right.\)

Vậy hệ phương trình có nghiệm \(\left( {x;y} \right) = \left( {1; - 3} \right)\).

Ta có:

\[\sqrt {2022a + \frac{{{{\left( {b - c} \right)}^2}}}{2}}  = \sqrt {2022a + \frac{{{{\left( {b + c} \right)}^2}}}{2} - 2bc}  \le \sqrt {2022a + \frac{{{{\left( {b + c} \right)}^2}}}{2}} \]  (vì bc ≥ 0)

Þ \[\sqrt {2022a + \frac{{{{\left( {b - c} \right)}^2}}}{2}}  \le \sqrt {2022a + \frac{{{{\left( {1011 - a} \right)}^2}}}{2}} \]

Þ \[\sqrt {2022a + \frac{{{{\left( {b - c} \right)}^2}}}{2}}  \le \sqrt {\frac{{{{\left( {1011 + a} \right)}^2}}}{2}} \]

Þ \[\sqrt {2022a + \frac{{{{\left( {b - c} \right)}^2}}}{2}}  \le \frac{{1011 + a}}{{\sqrt 2 }}\]  dấu = xảy ra  Û \[\left\{ \begin{array}{l}bc = 0\\a + b + c = 1011\end{array} \right.\]

Tương tự:      \[\sqrt {2022b + \frac{{{{\left( {c - a} \right)}^2}}}{2}}  \le \frac{{1011 + b}}{{\sqrt 2 }}\]

                     \[\sqrt {2022c + \frac{{{{\left( {c - b} \right)}^2}}}{2}}  \le \frac{{1011 + c}}{{\sqrt 2 }}\]       

\[\sqrt {2022a + \frac{{{{\left( {b - c} \right)}^2}}}{2}}  + \sqrt {2022b + \frac{{{{\left( {c - a} \right)}^2}}}{2}}  + \sqrt {2022c + \frac{{{{\left( {a - b} \right)}^2}}}{2}}  \le \frac{{3.1011 + a + b + c}}{{\sqrt 2 }}\]

Þ\[\sqrt {2022a + \frac{{{{\left( {b - c} \right)}^2}}}{2}}  + \sqrt {2022b + \frac{{{{\left( {c - a} \right)}^2}}}{2}}  + \sqrt {2022c + \frac{{{{\left( {a - b} \right)}^2}}}{2}}  \le \frac{{4.1011}}{{\sqrt 2 }} = 2022\sqrt 2 \]

Dấu = xảy ra Û \[\left\{ \begin{array}{l}a + b + c = 1011\\ab = bc = ca = 0\end{array} \right.\]

(Khi trong ba số \(a,\,b,\,c\) có một số bằng 1011 và hai số bằng 0).