1. Rút gọn biểu thức \(A = 2\sqrt 3  - 3\sqrt {27}  + 7\sqrt {7 + 4\sqrt 3 } .\)

2. Cho biểu thức \(P = \frac{1}{{2\sqrt x  - 4}} - \frac{1}{{2\sqrt x  + 4}} + \frac{{\sqrt x }}{{x - 4}}\) (với \(x \ge 0,\,x \ne 4\)).

a) Rút gọn biểu thức \(P.\)

b) Tìm tất cả các số nguyên \(x\) để \(P\) đạt giá trị nguyên.

1.  Giải phương trình \({x^2} + 2x - 15 = 0.\)

\(\Delta ' = 1 + 15 = 16 > 0\) .

Phương trình có hai nghiệm phân biệt

\({x_1} =  - 1 + \sqrt {16}  = 3\) .

\({x_2} =  - 1 - \sqrt {16}  =  - 5\).

2.  Giải hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}x\left( {4 - 2y} \right) = 7 + y - 2xy\\2x - 14 = 2\left( {y - 3} \right)\end{array} \right..\)

\(\left\{ \begin{array}{l}x\left( {4 - 2y} \right) = 7 + y - 2xy\\2x - 14 = 2\left( {y - 3} \right)\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}4x - y = 7\\2x - 2y = 8\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}4x - y = 7\\x - y = 4\end{array} \right.\).

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}3x = 3\\x - y = 4\end{array} \right.\).

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 1\\y =  - 3\end{array} \right.\)

Vậy hệ phương trình có nghiệm \(\left( {x;y} \right) = \left( {1; - 3} \right)\).

1.\(DC \bot AD \Rightarrow \widehat {ADC} = 90^\circ \) .

\(AE \bot EC \Rightarrow \widehat {AEC} = 90^\circ \).

\(\widehat {ADC} + \widehat {AEC} = 180^\circ \).

\( \Rightarrow \) Tứ giác \(AECD\) nội tiếp đường tròn..

2.Tứ giác \(AECD\) nội tiếp \( \Rightarrow \widehat {CDE} = \widehat {CAE}.\).

\(\widehat {CDB} + \widehat {CFB} = 180^\circ  \Rightarrow \)Tứ giác \(CDBF\) nội tiếp \( \Rightarrow \widehat {CFD} = \widehat {CBD}.\).

Mà \(\widehat {CBD} = \widehat {CAE}\) ( Cùng chắn cung \(AC\) ).

\( \Rightarrow \widehat {CDE} = \widehat {CFD}.\).

3.Tứ giác \(CDBF\) nội tiếp \( \Rightarrow \widehat {CFD} = \widehat {CBD}.\)

\(\widehat {CDE} = \widehat {CFD}\)(Chứng minh trên)

\( \Rightarrow \) \(\widehat {CDE} = \widehat {CBD}\) hay \(\widehat {CDI} = \widehat {CBA}\,\left( 1 \right)\)

Tứ giác \(CDBF\) nội tiếp \(\widehat {CDF} = \widehat {CBF}\)

Mà \(\widehat {CBF} = \widehat {CAB}\) (Cùng chắn cung \(BC\))

 \( \Rightarrow \widehat {CDK} = \widehat {CAB}\,\left( 2 \right)\).

Từ \(\left( 1 \right),\,\left( 2 \right) \Rightarrow \widehat {ICK} + \widehat {IDK} = \widehat {ICK} + \widehat {IDC} + \widehat {CDK}\)=\(\widehat {ACB} + \widehat {CBA} + \widehat {CAB} = {180^0}\)

\( \Rightarrow \) Tứ giác \(CIDK\) nội tiếp.

Suy ra \(\widehat {CIK} = \widehat {CDK}\)

Mà  \(\widehat {CDK} = \widehat {CAB}\,\)(Chứng minh trên)

\( \Rightarrow \widehat {CIK} = \widehat {CAB}\).

\( \Rightarrow IK\) //\(AB\)

Mà \(CD \bot AB \Rightarrow CD \bot IK.\).

4.Gọi \(NC\) cắt \(IK,\,AB\) lần lượt tại \(P,\,Q\)

\(\widehat {CIK} = \widehat {CAB}\) (Chứng minh trên).

Tứ giác \(AECD\) nội tiếp đường tròn \( \Rightarrow \widehat {CAD} = \widehat {CED}\) hay \(\widehat {CAB} = \widehat {CEI}\)

\( \Rightarrow \widehat {CEI} = \widehat {CIK}\)

\( \Rightarrow IK\) là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp tam giác \(CIE\)

Chứng minh tương tự: \(IK\) là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp tam giác \(CKF\) .

Xét hai tam giác \(PIC,\,PNI\) có

\(\widehat {IPN}\) chung, \(\widehat {PIC} = \widehat {PNI}\) (cùng chắn cung \(IC\))

 .

\( \Rightarrow \frac{{PI}}{{PN}} = \frac{{PC}}{{PI}} \Rightarrow P{I^2} = PC.PN\)

Chứng minh tương tự: \(P{K^2} = PC.PN\)

Vậy \(PI = PK\) .

\(IK\) // \(AB\) \( \Rightarrow \frac{{IP}}{{AQ}} = \frac{{CP}}{{CQ}} = \frac{{PK}}{{QB}}\)

Mà \(PI = PK \Rightarrow AQ = QB\)

Hay \(Q\) là trung điểm của \(AB\) .