Cho đường tròn \(\left( O \right)\). Từ điểm \(M\) bên ngoài đường tròn kẻ hai tiếp tuyến \(MA,\,MB\) với đường tròn \(\left( O \right)\) (\(A,\,B\) là các tiếp điểm). Lấy điểm \(C\) trên cung nhỏ \(AB\) (\(C\)không nằm chính giữa cung \(AB\), \(C\) khác \(A\) và \(B\)). Gọi \(D,\,E,\,F\) lần lượt là hình chiếu vuông góc của \(C\) trên các đường thẳng \(AB,\,AM,\,BM\).

1. Chứng minh tứ giác \(AECD\) nội tiếp đường tròn.

2. Chứng minh rằng \(\widehat {CDE} = \widehat {CFD}.\)

3. Gọi \(I\) là giao điểm của \(AC\) và \(ED\), \(K\) là giao điểm của \(CB\) và \(DF\). Chứng minh \(CD \bot IK.\)

4. Đường tròn ngoại tiếp hai tam giác \(CIE\) và \(CKF\) cắt nhau tại điểm thứ hai \(N\) (\(N\)  khác \(C\)). Chứng minh đường thẳng \(NC\) đi qua trung điểm của đoạn thẳng \(AB\).

1.\(DC \bot AD \Rightarrow \widehat {ADC} = 90^\circ \) .

\(AE \bot EC \Rightarrow \widehat {AEC} = 90^\circ \).

\(\widehat {ADC} + \widehat {AEC} = 180^\circ \).

\( \Rightarrow \) Tứ giác \(AECD\) nội tiếp đường tròn..

2.Tứ giác \(AECD\) nội tiếp \( \Rightarrow \widehat {CDE} = \widehat {CAE}.\).

\(\widehat {CDB} + \widehat {CFB} = 180^\circ  \Rightarrow \)Tứ giác \(CDBF\) nội tiếp \( \Rightarrow \widehat {CFD} = \widehat {CBD}.\).

Mà \(\widehat {CBD} = \widehat {CAE}\) ( Cùng chắn cung \(AC\) ).

\( \Rightarrow \widehat {CDE} = \widehat {CFD}.\).

3.Tứ giác \(CDBF\) nội tiếp \( \Rightarrow \widehat {CFD} = \widehat {CBD}.\)

\(\widehat {CDE} = \widehat {CFD}\)(Chứng minh trên)

\( \Rightarrow \) \(\widehat {CDE} = \widehat {CBD}\) hay \(\widehat {CDI} = \widehat {CBA}\,\left( 1 \right)\)

Tứ giác \(CDBF\) nội tiếp \(\widehat {CDF} = \widehat {CBF}\)

Mà \(\widehat {CBF} = \widehat {CAB}\) (Cùng chắn cung \(BC\))

 \( \Rightarrow \widehat {CDK} = \widehat {CAB}\,\left( 2 \right)\).

Từ \(\left( 1 \right),\,\left( 2 \right) \Rightarrow \widehat {ICK} + \widehat {IDK} = \widehat {ICK} + \widehat {IDC} + \widehat {CDK}\)=\(\widehat {ACB} + \widehat {CBA} + \widehat {CAB} = {180^0}\)

\( \Rightarrow \) Tứ giác \(CIDK\) nội tiếp.

Suy ra \(\widehat {CIK} = \widehat {CDK}\)

Mà  \(\widehat {CDK} = \widehat {CAB}\,\)(Chứng minh trên)

\( \Rightarrow \widehat {CIK} = \widehat {CAB}\).

\( \Rightarrow IK\) //\(AB\)

Mà \(CD \bot AB \Rightarrow CD \bot IK.\).

4.Gọi \(NC\) cắt \(IK,\,AB\) lần lượt tại \(P,\,Q\)

\(\widehat {CIK} = \widehat {CAB}\) (Chứng minh trên).

Tứ giác \(AECD\) nội tiếp đường tròn \( \Rightarrow \widehat {CAD} = \widehat {CED}\) hay \(\widehat {CAB} = \widehat {CEI}\)

\( \Rightarrow \widehat {CEI} = \widehat {CIK}\)

\( \Rightarrow IK\) là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp tam giác \(CIE\)

Chứng minh tương tự: \(IK\) là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp tam giác \(CKF\) .

Xét hai tam giác \(PIC,\,PNI\) có

\(\widehat {IPN}\) chung, \(\widehat {PIC} = \widehat {PNI}\) (cùng chắn cung \(IC\))

 .

\( \Rightarrow \frac{{PI}}{{PN}} = \frac{{PC}}{{PI}} \Rightarrow P{I^2} = PC.PN\)

Chứng minh tương tự: \(P{K^2} = PC.PN\)

Vậy \(PI = PK\) .

\(IK\) // \(AB\) \( \Rightarrow \frac{{IP}}{{AQ}} = \frac{{CP}}{{CQ}} = \frac{{PK}}{{QB}}\)

Mà \(PI = PK \Rightarrow AQ = QB\)

Hay \(Q\) là trung điểm của \(AB\) .