Cho đường tròn \(\left( O \right)\). Từ điểm \(M\) bên ngoài đường tròn kẻ hai tiếp tuyến \(MA,\,MB\) với đường tròn \(\left( O \right)\) (\(A,\,B\) là các tiếp điểm). Lấy điểm \(C\) trên cung nhỏ \(AB\) (\(C\)không nằm chính giữa cung \(AB\), \(C\) khác \(A\) và \(B\)). Gọi \(D,\,E,\,F\) lần lượt là hình chiếu vuông góc của \(C\) trên các đường thẳng \(AB,\,AM,\,BM\).

1. Chứng minh tứ giác \(AECD\) nội tiếp đường tròn.

2. Chứng minh rằng \(\widehat {CDE} = \widehat {CFD}.\)

3. Gọi \(I\) là giao điểm của \(AC\) và \(ED\), \(K\) là giao điểm của \(CB\) và \(DF\). Chứng minh \(CD \bot IK.\)

4. Đường tròn ngoại tiếp hai tam giác \(CIE\) và \(CKF\) cắt nhau tại điểm thứ hai \(N\) (\(N\)  khác \(C\)). Chứng minh đường thẳng \(NC\) đi qua trung điểm của đoạn thẳng \(AB\).

1.  Giải phương trình \({x^2} + 2x - 15 = 0.\)

\(\Delta ' = 1 + 15 = 16 > 0\) .

Phương trình có hai nghiệm phân biệt

\({x_1} =  - 1 + \sqrt {16}  = 3\) .

\({x_2} =  - 1 - \sqrt {16}  =  - 5\).

2.  Giải hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}x\left( {4 - 2y} \right) = 7 + y - 2xy\\2x - 14 = 2\left( {y - 3} \right)\end{array} \right..\)

\(\left\{ \begin{array}{l}x\left( {4 - 2y} \right) = 7 + y - 2xy\\2x - 14 = 2\left( {y - 3} \right)\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}4x - y = 7\\2x - 2y = 8\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}4x - y = 7\\x - y = 4\end{array} \right.\).

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}3x = 3\\x - y = 4\end{array} \right.\).

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 1\\y =  - 3\end{array} \right.\)

Vậy hệ phương trình có nghiệm \(\left( {x;y} \right) = \left( {1; - 3} \right)\).

Ta có:

\[\sqrt {2022a + \frac{{{{\left( {b - c} \right)}^2}}}{2}}  = \sqrt {2022a + \frac{{{{\left( {b + c} \right)}^2}}}{2} - 2bc}  \le \sqrt {2022a + \frac{{{{\left( {b + c} \right)}^2}}}{2}} \]  (vì bc ≥ 0)

Þ \[\sqrt {2022a + \frac{{{{\left( {b - c} \right)}^2}}}{2}}  \le \sqrt {2022a + \frac{{{{\left( {1011 - a} \right)}^2}}}{2}} \]

Þ \[\sqrt {2022a + \frac{{{{\left( {b - c} \right)}^2}}}{2}}  \le \sqrt {\frac{{{{\left( {1011 + a} \right)}^2}}}{2}} \]

Þ \[\sqrt {2022a + \frac{{{{\left( {b - c} \right)}^2}}}{2}}  \le \frac{{1011 + a}}{{\sqrt 2 }}\]  dấu = xảy ra  Û \[\left\{ \begin{array}{l}bc = 0\\a + b + c = 1011\end{array} \right.\]

Tương tự:      \[\sqrt {2022b + \frac{{{{\left( {c - a} \right)}^2}}}{2}}  \le \frac{{1011 + b}}{{\sqrt 2 }}\]

                     \[\sqrt {2022c + \frac{{{{\left( {c - b} \right)}^2}}}{2}}  \le \frac{{1011 + c}}{{\sqrt 2 }}\]       

\[\sqrt {2022a + \frac{{{{\left( {b - c} \right)}^2}}}{2}}  + \sqrt {2022b + \frac{{{{\left( {c - a} \right)}^2}}}{2}}  + \sqrt {2022c + \frac{{{{\left( {a - b} \right)}^2}}}{2}}  \le \frac{{3.1011 + a + b + c}}{{\sqrt 2 }}\]

Þ\[\sqrt {2022a + \frac{{{{\left( {b - c} \right)}^2}}}{2}}  + \sqrt {2022b + \frac{{{{\left( {c - a} \right)}^2}}}{2}}  + \sqrt {2022c + \frac{{{{\left( {a - b} \right)}^2}}}{2}}  \le \frac{{4.1011}}{{\sqrt 2 }} = 2022\sqrt 2 \]

Dấu = xảy ra Û \[\left\{ \begin{array}{l}a + b + c = 1011\\ab = bc = ca = 0\end{array} \right.\]

(Khi trong ba số \(a,\,b,\,c\) có một số bằng 1011 và hai số bằng 0).