Cho đường tròn \(\left( O \right)\). Từ điểm \(M\) bên ngoài đường tròn kẻ hai tiếp tuyến \(MA,\,MB\) với đường tròn \(\left( O \right)\) (\(A,\,B\) là các tiếp điểm). Lấy điểm \(C\) trên cung nhỏ \(AB\) (\(C\)không nằm chính giữa cung \(AB\), \(C\) khác \(A\) và \(B\)). Gọi \(D,\,E,\,F\) lần lượt là hình chiếu vuông góc của \(C\) trên các đường thẳng \(AB,\,AM,\,BM\).
1. Chứng minh tứ giác \(AECD\) nội tiếp đường tròn.
2. Chứng minh rằng \(\widehat {CDE} = \widehat {CFD}.\)
3. Gọi \(I\) là giao điểm của \(AC\) và \(ED\), \(K\) là giao điểm của \(CB\) và \(DF\). Chứng minh \(CD \bot IK.\)
4. Đường tròn ngoại tiếp hai tam giác \(CIE\) và \(CKF\) cắt nhau tại điểm thứ hai \(N\) (\(N\) khác \(C\)). Chứng minh đường thẳng \(NC\) đi qua trung điểm của đoạn thẳng \(AB\).
Quảng cáo
Trả lời:
Giải bởi Vietjack
1.\(DC \bot AD \Rightarrow \widehat {ADC} = 90^\circ \) .
\(AE \bot EC \Rightarrow \widehat {AEC} = 90^\circ \).
\(\widehat {ADC} + \widehat {AEC} = 180^\circ \).
\( \Rightarrow \) Tứ giác \(AECD\) nội tiếp đường tròn..
2.Tứ giác \(AECD\) nội tiếp \( \Rightarrow \widehat {CDE} = \widehat {CAE}.\).
\(\widehat {CDB} + \widehat {CFB} = 180^\circ \Rightarrow \)Tứ giác \(CDBF\) nội tiếp \( \Rightarrow \widehat {CFD} = \widehat {CBD}.\).
Mà \(\widehat {CBD} = \widehat {CAE}\) ( Cùng chắn cung \(AC\) ).
\( \Rightarrow \widehat {CDE} = \widehat {CFD}.\).
3.Tứ giác \(CDBF\) nội tiếp \( \Rightarrow \widehat {CFD} = \widehat {CBD}.\)
\(\widehat {CDE} = \widehat {CFD}\)(Chứng minh trên)
\( \Rightarrow \) \(\widehat {CDE} = \widehat {CBD}\) hay \(\widehat {CDI} = \widehat {CBA}\,\left( 1 \right)\)
Tứ giác \(CDBF\) nội tiếp \(\widehat {CDF} = \widehat {CBF}\)
Mà \(\widehat {CBF} = \widehat {CAB}\) (Cùng chắn cung \(BC\))
\( \Rightarrow \widehat {CDK} = \widehat {CAB}\,\left( 2 \right)\).
Từ \(\left( 1 \right),\,\left( 2 \right) \Rightarrow \widehat {ICK} + \widehat {IDK} = \widehat {ICK} + \widehat {IDC} + \widehat {CDK}\)=\(\widehat {ACB} + \widehat {CBA} + \widehat {CAB} = {180^0}\)
\( \Rightarrow \) Tứ giác \(CIDK\) nội tiếp.
Suy ra \(\widehat {CIK} = \widehat {CDK}\)
Mà \(\widehat {CDK} = \widehat {CAB}\,\)(Chứng minh trên)
\( \Rightarrow \widehat {CIK} = \widehat {CAB}\).
\( \Rightarrow IK\) //\(AB\)
Mà \(CD \bot AB \Rightarrow CD \bot IK.\).
4.Gọi \(NC\) cắt \(IK,\,AB\) lần lượt tại \(P,\,Q\)
\(\widehat {CIK} = \widehat {CAB}\) (Chứng minh trên).
Tứ giác \(AECD\) nội tiếp đường tròn \( \Rightarrow \widehat {CAD} = \widehat {CED}\) hay \(\widehat {CAB} = \widehat {CEI}\)
\( \Rightarrow \widehat {CEI} = \widehat {CIK}\)
\( \Rightarrow IK\) là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp tam giác \(CIE\)
Chứng minh tương tự: \(IK\) là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp tam giác \(CKF\) .
Xét hai tam giác \(PIC,\,PNI\) có
\(\widehat {IPN}\) chung, \(\widehat {PIC} = \widehat {PNI}\) (cùng chắn cung \(IC\))
.
\( \Rightarrow \frac{{PI}}{{PN}} = \frac{{PC}}{{PI}} \Rightarrow P{I^2} = PC.PN\)
Chứng minh tương tự: \(P{K^2} = PC.PN\)
Vậy \(PI = PK\) .
\(IK\) // \(AB\) \( \Rightarrow \frac{{IP}}{{AQ}} = \frac{{CP}}{{CQ}} = \frac{{PK}}{{QB}}\)
Mà \(PI = PK \Rightarrow AQ = QB\)
Hay \(Q\) là trung điểm của \(AB\) .
Hot: 1000+ Đề thi giữa kì 2 file word cấu trúc mới 2026 Toán, Văn, Anh... lớp 1-12 (chỉ từ 60k). Tải ngay
Sách thầy cô Vietjack biên soạn:
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Lời giải
1. Giải phương trình \({x^2} + 2x - 15 = 0.\)
\(\Delta ' = 1 + 15 = 16 > 0\) .
Phương trình có hai nghiệm phân biệt
\({x_1} = - 1 + \sqrt {16} = 3\) .
\({x_2} = - 1 - \sqrt {16} = - 5\).
2. Giải hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}x\left( {4 - 2y} \right) = 7 + y - 2xy\\2x - 14 = 2\left( {y - 3} \right)\end{array} \right..\)
\(\left\{ \begin{array}{l}x\left( {4 - 2y} \right) = 7 + y - 2xy\\2x - 14 = 2\left( {y - 3} \right)\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}4x - y = 7\\2x - 2y = 8\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}4x - y = 7\\x - y = 4\end{array} \right.\).
\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}3x = 3\\x - y = 4\end{array} \right.\).
\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 1\\y = - 3\end{array} \right.\)
Vậy hệ phương trình có nghiệm \(\left( {x;y} \right) = \left( {1; - 3} \right)\).
Lời giải
1.Rút gọn biểu thức \(A = 2\sqrt 3 - 3\sqrt {27} + 7\sqrt {7 + 4\sqrt 3 } .\)
\(A = 2\sqrt 3 - 9\sqrt 3 + 7\sqrt {{{\left( {2 + \sqrt 3 } \right)}^2}} \)
\(A = 2\sqrt 3 - 9\sqrt 3 + 7\left( {2 + \sqrt 3 } \right)\)
\(A = 14\)
2. Cho biểu thức \(P = \frac{1}{{2\sqrt x - 4}} - \frac{1}{{2\sqrt x + 4}} + \frac{{\sqrt x }}{{x - 4}}\) (với \(x \ge 0,\,x \ne 4\) ).
a) Rút gọn biểu thức \(P.\)
\(P = \frac{8}{{4x - 16}} + \frac{{\sqrt x }}{{x - 4}}\)
\(P = \frac{{\sqrt x + 2}}{{x - 4}} = \frac{1}{{\sqrt x - 2}}\)
b) Tìm tất cả các số nguyên \(x\) để \(P\) đạt giá trị nguyên.
\(P\) đạt giá trị nguyên \( \Leftrightarrow \sqrt x - 2 = \pm 1\)
\(\sqrt x - 2 = 1 \Leftrightarrow \sqrt x = 3 \Leftrightarrow x = 9\)(thỏa mãn điều kiện \(x \ge 0,\,x \ne 4\)).
\(\sqrt x - 2 = - 1 \Leftrightarrow \sqrt x = 1 \Leftrightarrow x = 1\)(thỏa mãn điều kiện \(x \ge 0,\,x \ne 4\)).
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Nhắn tin Zalo
Hỏi bài tập