Cho \(a,\,b,\,c\) là các số không âm thỏa mãn \(a + b + c = 1011\). Chứng minh: \(\sqrt {2022a + \frac{{{{\left( {b - c} \right)}^2}}}{2}} + \sqrt {2022b + \frac{{{{\left( {c - a} \right)}^2}}}{2}} + \sqrt {2022c + \frac{{{{\left( {a - b} \right)}^2}}}{2}} \le 2022\sqrt 2 .\)
Cho \(a,\,b,\,c\) là các số không âm thỏa mãn \(a + b + c = 1011\). Chứng minh: \(\sqrt {2022a + \frac{{{{\left( {b - c} \right)}^2}}}{2}} + \sqrt {2022b + \frac{{{{\left( {c - a} \right)}^2}}}{2}} + \sqrt {2022c + \frac{{{{\left( {a - b} \right)}^2}}}{2}} \le 2022\sqrt 2 .\)
Quảng cáo
Trả lời:
Giải bởi Vietjack
Ta có:
\[\sqrt {2022a + \frac{{{{\left( {b - c} \right)}^2}}}{2}} = \sqrt {2022a + \frac{{{{\left( {b + c} \right)}^2}}}{2} - 2bc} \le \sqrt {2022a + \frac{{{{\left( {b + c} \right)}^2}}}{2}} \] (vì bc ≥ 0)
Þ \[\sqrt {2022a + \frac{{{{\left( {b - c} \right)}^2}}}{2}} \le \sqrt {2022a + \frac{{{{\left( {1011 - a} \right)}^2}}}{2}} \]
Þ \[\sqrt {2022a + \frac{{{{\left( {b - c} \right)}^2}}}{2}} \le \sqrt {\frac{{{{\left( {1011 + a} \right)}^2}}}{2}} \]
Þ \[\sqrt {2022a + \frac{{{{\left( {b - c} \right)}^2}}}{2}} \le \frac{{1011 + a}}{{\sqrt 2 }}\] dấu = xảy ra Û \[\left\{ \begin{array}{l}bc = 0\\a + b + c = 1011\end{array} \right.\]
Tương tự: \[\sqrt {2022b + \frac{{{{\left( {c - a} \right)}^2}}}{2}} \le \frac{{1011 + b}}{{\sqrt 2 }}\]
\[\sqrt {2022c + \frac{{{{\left( {c - b} \right)}^2}}}{2}} \le \frac{{1011 + c}}{{\sqrt 2 }}\]
\[\sqrt {2022a + \frac{{{{\left( {b - c} \right)}^2}}}{2}} + \sqrt {2022b + \frac{{{{\left( {c - a} \right)}^2}}}{2}} + \sqrt {2022c + \frac{{{{\left( {a - b} \right)}^2}}}{2}} \le \frac{{3.1011 + a + b + c}}{{\sqrt 2 }}\]
Þ\[\sqrt {2022a + \frac{{{{\left( {b - c} \right)}^2}}}{2}} + \sqrt {2022b + \frac{{{{\left( {c - a} \right)}^2}}}{2}} + \sqrt {2022c + \frac{{{{\left( {a - b} \right)}^2}}}{2}} \le \frac{{4.1011}}{{\sqrt 2 }} = 2022\sqrt 2 \]
Dấu = xảy ra Û \[\left\{ \begin{array}{l}a + b + c = 1011\\ab = bc = ca = 0\end{array} \right.\]
(Khi trong ba số \(a,\,b,\,c\) có một số bằng 1011 và hai số bằng 0).
Hot: 1000+ Đề thi cuối kì 2 file word cấu trúc mới 2026 Toán, Văn, Anh... lớp 1-12 (chỉ từ 60k). Tải ngay
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Lời giải
1. Giải phương trình \({x^2} + 2x - 15 = 0.\)
\(\Delta ' = 1 + 15 = 16 > 0\) .
Phương trình có hai nghiệm phân biệt
\({x_1} = - 1 + \sqrt {16} = 3\) .
\({x_2} = - 1 - \sqrt {16} = - 5\).
2. Giải hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}x\left( {4 - 2y} \right) = 7 + y - 2xy\\2x - 14 = 2\left( {y - 3} \right)\end{array} \right..\)
\(\left\{ \begin{array}{l}x\left( {4 - 2y} \right) = 7 + y - 2xy\\2x - 14 = 2\left( {y - 3} \right)\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}4x - y = 7\\2x - 2y = 8\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}4x - y = 7\\x - y = 4\end{array} \right.\).
\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}3x = 3\\x - y = 4\end{array} \right.\).
\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 1\\y = - 3\end{array} \right.\)
Vậy hệ phương trình có nghiệm \(\left( {x;y} \right) = \left( {1; - 3} \right)\).
Lời giải
1.\((d) \bot \left( \Delta \right) \Leftrightarrow 2.\left( {a - 3} \right) = - 1\)
\( \Leftrightarrow a = \frac{5}{2}\).
2.Phương trình hoành độ giao điểm của đường thẳng \((d)\)và \((P)\,\)
\({x^2} = 2x + {m^2} - 4m + 9 \Leftrightarrow {x^2} - 2x - {m^2} + 4m - 9 = 0\,\left( 1 \right)\)
\(\Delta ' = {m^2} - 4m + 10 = {\left( {m - 2} \right)^2} + 6 > 0\,\forall m\)
Vậy đường thẳng \((d)\)luôn cắt \((P)\,\)tại hai điểm phân biệt \(A,\,B\) với mọi \(m\)
\(a.c = - {m^2} + 4m - 9 = - {\left( {m - 2} \right)^2} - 5 < 0\,\forall m \Rightarrow \) Phương trình \(\left( 1 \right)\) luôn có hai nghiệm trái dấu \({x_1} < 0 < {x_2}\)
\(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} - 2023 < 0\\{x_2} + 2023 > 0\end{array} \right. \Rightarrow \left| {{x_1} - 2023} \right| - \left| {{x_2} + 2023} \right| = - \left( {{x_1} + {x_2}} \right)\)
\[\begin{array}{l}\left| {{x_1} - 2023} \right| - \left| {{x_2} + 2023} \right| = {y_1} + {y_2} - 48 \Leftrightarrow - \left( {{x_1} + {x_2}} \right) = x_1^2 + x_2^2 - 48\\ \Leftrightarrow - \left( {{x_1} + {x_2}} \right) = {\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^2} - 2{x_1}.{x_2} - 48 \Leftrightarrow - 2 = {2^2} - 2\left( { - {m^2} + 4m - 9} \right) - 48\\ \Leftrightarrow {m^2} - 4m - 12 = 0 \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}m = 6\\m = - 2\end{array} \right..\end{array}\]
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Nhắn tin Zalo
Hỏi bài tập