Cho \(a,\,b,\,c\) là các số không âm thỏa mãn \(a + b + c = 1011\). Chứng minh: \(\sqrt {2022a + \frac{{{{\left( {b - c} \right)}^2}}}{2}} + \sqrt {2022b + \frac{{{{\left( {c - a} \right)}^2}}}{2}} + \sqrt {2022c + \frac{{{{\left( {a - b} \right)}^2}}}{2}} \le 2022\sqrt 2 .\)
Cho \(a,\,b,\,c\) là các số không âm thỏa mãn \(a + b + c = 1011\). Chứng minh: \(\sqrt {2022a + \frac{{{{\left( {b - c} \right)}^2}}}{2}} + \sqrt {2022b + \frac{{{{\left( {c - a} \right)}^2}}}{2}} + \sqrt {2022c + \frac{{{{\left( {a - b} \right)}^2}}}{2}} \le 2022\sqrt 2 .\)
Quảng cáo
Trả lời:
Giải bởi Vietjack
Ta có:
\[\sqrt {2022a + \frac{{{{\left( {b - c} \right)}^2}}}{2}} = \sqrt {2022a + \frac{{{{\left( {b + c} \right)}^2}}}{2} - 2bc} \le \sqrt {2022a + \frac{{{{\left( {b + c} \right)}^2}}}{2}} \] (vì bc ≥ 0)
Þ \[\sqrt {2022a + \frac{{{{\left( {b - c} \right)}^2}}}{2}} \le \sqrt {2022a + \frac{{{{\left( {1011 - a} \right)}^2}}}{2}} \]
Þ \[\sqrt {2022a + \frac{{{{\left( {b - c} \right)}^2}}}{2}} \le \sqrt {\frac{{{{\left( {1011 + a} \right)}^2}}}{2}} \]
Þ \[\sqrt {2022a + \frac{{{{\left( {b - c} \right)}^2}}}{2}} \le \frac{{1011 + a}}{{\sqrt 2 }}\] dấu = xảy ra Û \[\left\{ \begin{array}{l}bc = 0\\a + b + c = 1011\end{array} \right.\]
Tương tự: \[\sqrt {2022b + \frac{{{{\left( {c - a} \right)}^2}}}{2}} \le \frac{{1011 + b}}{{\sqrt 2 }}\]
\[\sqrt {2022c + \frac{{{{\left( {c - b} \right)}^2}}}{2}} \le \frac{{1011 + c}}{{\sqrt 2 }}\]
\[\sqrt {2022a + \frac{{{{\left( {b - c} \right)}^2}}}{2}} + \sqrt {2022b + \frac{{{{\left( {c - a} \right)}^2}}}{2}} + \sqrt {2022c + \frac{{{{\left( {a - b} \right)}^2}}}{2}} \le \frac{{3.1011 + a + b + c}}{{\sqrt 2 }}\]
Þ\[\sqrt {2022a + \frac{{{{\left( {b - c} \right)}^2}}}{2}} + \sqrt {2022b + \frac{{{{\left( {c - a} \right)}^2}}}{2}} + \sqrt {2022c + \frac{{{{\left( {a - b} \right)}^2}}}{2}} \le \frac{{4.1011}}{{\sqrt 2 }} = 2022\sqrt 2 \]
Dấu = xảy ra Û \[\left\{ \begin{array}{l}a + b + c = 1011\\ab = bc = ca = 0\end{array} \right.\]
(Khi trong ba số \(a,\,b,\,c\) có một số bằng 1011 và hai số bằng 0).
Hot: 1000+ Đề thi cuối kì 1 file word cấu trúc mới 2025 Toán, Văn, Anh... lớp 1-12 (chỉ từ 60k). Tải ngay
Sách thầy cô Vietjack biên soạn:
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Lời giải
1. Giải phương trình \({x^2} + 2x - 15 = 0.\)
\(\Delta ' = 1 + 15 = 16 > 0\) .
Phương trình có hai nghiệm phân biệt
\({x_1} = - 1 + \sqrt {16} = 3\) .
\({x_2} = - 1 - \sqrt {16} = - 5\).
2. Giải hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}x\left( {4 - 2y} \right) = 7 + y - 2xy\\2x - 14 = 2\left( {y - 3} \right)\end{array} \right..\)
\(\left\{ \begin{array}{l}x\left( {4 - 2y} \right) = 7 + y - 2xy\\2x - 14 = 2\left( {y - 3} \right)\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}4x - y = 7\\2x - 2y = 8\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}4x - y = 7\\x - y = 4\end{array} \right.\).
\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}3x = 3\\x - y = 4\end{array} \right.\).
\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 1\\y = - 3\end{array} \right.\)
Vậy hệ phương trình có nghiệm \(\left( {x;y} \right) = \left( {1; - 3} \right)\).
Lời giải
1.\(DC \bot AD \Rightarrow \widehat {ADC} = 90^\circ \) .
\(AE \bot EC \Rightarrow \widehat {AEC} = 90^\circ \).
\(\widehat {ADC} + \widehat {AEC} = 180^\circ \).
\( \Rightarrow \) Tứ giác \(AECD\) nội tiếp đường tròn..
2.Tứ giác \(AECD\) nội tiếp \( \Rightarrow \widehat {CDE} = \widehat {CAE}.\).
\(\widehat {CDB} + \widehat {CFB} = 180^\circ \Rightarrow \)Tứ giác \(CDBF\) nội tiếp \( \Rightarrow \widehat {CFD} = \widehat {CBD}.\).
Mà \(\widehat {CBD} = \widehat {CAE}\) ( Cùng chắn cung \(AC\) ).
\( \Rightarrow \widehat {CDE} = \widehat {CFD}.\).
3.Tứ giác \(CDBF\) nội tiếp \( \Rightarrow \widehat {CFD} = \widehat {CBD}.\)
\(\widehat {CDE} = \widehat {CFD}\)(Chứng minh trên)
\( \Rightarrow \) \(\widehat {CDE} = \widehat {CBD}\) hay \(\widehat {CDI} = \widehat {CBA}\,\left( 1 \right)\)
Tứ giác \(CDBF\) nội tiếp \(\widehat {CDF} = \widehat {CBF}\)
Mà \(\widehat {CBF} = \widehat {CAB}\) (Cùng chắn cung \(BC\))
\( \Rightarrow \widehat {CDK} = \widehat {CAB}\,\left( 2 \right)\).
Từ \(\left( 1 \right),\,\left( 2 \right) \Rightarrow \widehat {ICK} + \widehat {IDK} = \widehat {ICK} + \widehat {IDC} + \widehat {CDK}\)=\(\widehat {ACB} + \widehat {CBA} + \widehat {CAB} = {180^0}\)
\( \Rightarrow \) Tứ giác \(CIDK\) nội tiếp.
Suy ra \(\widehat {CIK} = \widehat {CDK}\)
Mà \(\widehat {CDK} = \widehat {CAB}\,\)(Chứng minh trên)
\( \Rightarrow \widehat {CIK} = \widehat {CAB}\).
\( \Rightarrow IK\) //\(AB\)
Mà \(CD \bot AB \Rightarrow CD \bot IK.\).
4.Gọi \(NC\) cắt \(IK,\,AB\) lần lượt tại \(P,\,Q\)
\(\widehat {CIK} = \widehat {CAB}\) (Chứng minh trên).
Tứ giác \(AECD\) nội tiếp đường tròn \( \Rightarrow \widehat {CAD} = \widehat {CED}\) hay \(\widehat {CAB} = \widehat {CEI}\)
\( \Rightarrow \widehat {CEI} = \widehat {CIK}\)
\( \Rightarrow IK\) là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp tam giác \(CIE\)
Chứng minh tương tự: \(IK\) là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp tam giác \(CKF\) .
Xét hai tam giác \(PIC,\,PNI\) có
\(\widehat {IPN}\) chung, \(\widehat {PIC} = \widehat {PNI}\) (cùng chắn cung \(IC\))
.
\( \Rightarrow \frac{{PI}}{{PN}} = \frac{{PC}}{{PI}} \Rightarrow P{I^2} = PC.PN\)
Chứng minh tương tự: \(P{K^2} = PC.PN\)
Vậy \(PI = PK\) .
\(IK\) // \(AB\) \( \Rightarrow \frac{{IP}}{{AQ}} = \frac{{CP}}{{CQ}} = \frac{{PK}}{{QB}}\)
Mà \(PI = PK \Rightarrow AQ = QB\)
Hay \(Q\) là trung điểm của \(AB\) .
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Nhắn tin Zalo
Hỏi bài tập