Cho \(a,\,b,\,c\) là các số không âm thỏa mãn \(a + b + c = 1011\). Chứng minh: \(\sqrt {2022a + \frac{{{{\left( {b - c} \right)}^2}}}{2}} + \sqrt {2022b + \frac{{{{\left( {c - a} \right)}^2}}}{2}} + \sqrt {2022c + \frac{{{{\left( {a - b} \right)}^2}}}{2}} \le 2022\sqrt 2 .\)
Cho \(a,\,b,\,c\) là các số không âm thỏa mãn \(a + b + c = 1011\). Chứng minh: \(\sqrt {2022a + \frac{{{{\left( {b - c} \right)}^2}}}{2}} + \sqrt {2022b + \frac{{{{\left( {c - a} \right)}^2}}}{2}} + \sqrt {2022c + \frac{{{{\left( {a - b} \right)}^2}}}{2}} \le 2022\sqrt 2 .\)
Quảng cáo
Trả lời:
Giải bởi Vietjack
Ta có:
\[\sqrt {2022a + \frac{{{{\left( {b - c} \right)}^2}}}{2}} = \sqrt {2022a + \frac{{{{\left( {b + c} \right)}^2}}}{2} - 2bc} \le \sqrt {2022a + \frac{{{{\left( {b + c} \right)}^2}}}{2}} \] (vì bc ≥ 0)
Þ \[\sqrt {2022a + \frac{{{{\left( {b - c} \right)}^2}}}{2}} \le \sqrt {2022a + \frac{{{{\left( {1011 - a} \right)}^2}}}{2}} \]
Þ \[\sqrt {2022a + \frac{{{{\left( {b - c} \right)}^2}}}{2}} \le \sqrt {\frac{{{{\left( {1011 + a} \right)}^2}}}{2}} \]
Þ \[\sqrt {2022a + \frac{{{{\left( {b - c} \right)}^2}}}{2}} \le \frac{{1011 + a}}{{\sqrt 2 }}\] dấu = xảy ra Û \[\left\{ \begin{array}{l}bc = 0\\a + b + c = 1011\end{array} \right.\]
Tương tự: \[\sqrt {2022b + \frac{{{{\left( {c - a} \right)}^2}}}{2}} \le \frac{{1011 + b}}{{\sqrt 2 }}\]
\[\sqrt {2022c + \frac{{{{\left( {c - b} \right)}^2}}}{2}} \le \frac{{1011 + c}}{{\sqrt 2 }}\]
\[\sqrt {2022a + \frac{{{{\left( {b - c} \right)}^2}}}{2}} + \sqrt {2022b + \frac{{{{\left( {c - a} \right)}^2}}}{2}} + \sqrt {2022c + \frac{{{{\left( {a - b} \right)}^2}}}{2}} \le \frac{{3.1011 + a + b + c}}{{\sqrt 2 }}\]
Þ\[\sqrt {2022a + \frac{{{{\left( {b - c} \right)}^2}}}{2}} + \sqrt {2022b + \frac{{{{\left( {c - a} \right)}^2}}}{2}} + \sqrt {2022c + \frac{{{{\left( {a - b} \right)}^2}}}{2}} \le \frac{{4.1011}}{{\sqrt 2 }} = 2022\sqrt 2 \]
Dấu = xảy ra Û \[\left\{ \begin{array}{l}a + b + c = 1011\\ab = bc = ca = 0\end{array} \right.\]
(Khi trong ba số \(a,\,b,\,c\) có một số bằng 1011 và hai số bằng 0).
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Đang tải chế độ Học...
Dành cho bạn Hot
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Lời giải
1. Giải phương trình \({x^2} + 2x - 15 = 0.\)
\(\Delta ' = 1 + 15 = 16 > 0\) .
Phương trình có hai nghiệm phân biệt
\({x_1} = - 1 + \sqrt {16} = 3\) .
\({x_2} = - 1 - \sqrt {16} = - 5\).
2. Giải hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}x\left( {4 - 2y} \right) = 7 + y - 2xy\\2x - 14 = 2\left( {y - 3} \right)\end{array} \right..\)
\(\left\{ \begin{array}{l}x\left( {4 - 2y} \right) = 7 + y - 2xy\\2x - 14 = 2\left( {y - 3} \right)\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}4x - y = 7\\2x - 2y = 8\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}4x - y = 7\\x - y = 4\end{array} \right.\).
\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}3x = 3\\x - y = 4\end{array} \right.\).
\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 1\\y = - 3\end{array} \right.\)
Vậy hệ phương trình có nghiệm \(\left( {x;y} \right) = \left( {1; - 3} \right)\).
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Lời giải
1.Rút gọn biểu thức \(A = 2\sqrt 3 - 3\sqrt {27} + 7\sqrt {7 + 4\sqrt 3 } .\)
\(A = 2\sqrt 3 - 9\sqrt 3 + 7\sqrt {{{\left( {2 + \sqrt 3 } \right)}^2}} \)
\(A = 2\sqrt 3 - 9\sqrt 3 + 7\left( {2 + \sqrt 3 } \right)\)
\(A = 14\)
2. Cho biểu thức \(P = \frac{1}{{2\sqrt x - 4}} - \frac{1}{{2\sqrt x + 4}} + \frac{{\sqrt x }}{{x - 4}}\) (với \(x \ge 0,\,x \ne 4\) ).
a) Rút gọn biểu thức \(P.\)
\(P = \frac{8}{{4x - 16}} + \frac{{\sqrt x }}{{x - 4}}\)
\(P = \frac{{\sqrt x + 2}}{{x - 4}} = \frac{1}{{\sqrt x - 2}}\)
b) Tìm tất cả các số nguyên \(x\) để \(P\) đạt giá trị nguyên.
\(P\) đạt giá trị nguyên \( \Leftrightarrow \sqrt x - 2 = \pm 1\)
\(\sqrt x - 2 = 1 \Leftrightarrow \sqrt x = 3 \Leftrightarrow x = 9\)(thỏa mãn điều kiện \(x \ge 0,\,x \ne 4\)).
\(\sqrt x - 2 = - 1 \Leftrightarrow \sqrt x = 1 \Leftrightarrow x = 1\)(thỏa mãn điều kiện \(x \ge 0,\,x \ne 4\)).
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Đăng ký để học cùng Vietjack. Hoàn toàn miễn phí!
Bằng việc đăng ký, bạn đồng ý với Điều khoản sử dụng và Chính sách bảo mật của Vietjack.
Nhắn tin Zalo
Hỏi bài tập