Cho \(a,\,b,\,c\) là các số không âm thỏa mãn \(a + b + c = 1011\). Chứng minh: \(\sqrt {2022a + \frac{{{{\left( {b - c} \right)}^2}}}{2}} + \sqrt {2022b + \frac{{{{\left( {c - a} \right)}^2}}}{2}} + \sqrt {2022c + \frac{{{{\left( {a - b} \right)}^2}}}{2}} \le 2022\sqrt 2 .\)
Cho \(a,\,b,\,c\) là các số không âm thỏa mãn \(a + b + c = 1011\). Chứng minh: \(\sqrt {2022a + \frac{{{{\left( {b - c} \right)}^2}}}{2}} + \sqrt {2022b + \frac{{{{\left( {c - a} \right)}^2}}}{2}} + \sqrt {2022c + \frac{{{{\left( {a - b} \right)}^2}}}{2}} \le 2022\sqrt 2 .\)
Quảng cáo
Trả lời:
Giải bởi Vietjack
Ta có:
\[\sqrt {2022a + \frac{{{{\left( {b - c} \right)}^2}}}{2}} = \sqrt {2022a + \frac{{{{\left( {b + c} \right)}^2}}}{2} - 2bc} \le \sqrt {2022a + \frac{{{{\left( {b + c} \right)}^2}}}{2}} \] (vì bc ≥ 0)
Þ \[\sqrt {2022a + \frac{{{{\left( {b - c} \right)}^2}}}{2}} \le \sqrt {2022a + \frac{{{{\left( {1011 - a} \right)}^2}}}{2}} \]
Þ \[\sqrt {2022a + \frac{{{{\left( {b - c} \right)}^2}}}{2}} \le \sqrt {\frac{{{{\left( {1011 + a} \right)}^2}}}{2}} \]
Þ \[\sqrt {2022a + \frac{{{{\left( {b - c} \right)}^2}}}{2}} \le \frac{{1011 + a}}{{\sqrt 2 }}\] dấu = xảy ra Û \[\left\{ \begin{array}{l}bc = 0\\a + b + c = 1011\end{array} \right.\]
Tương tự: \[\sqrt {2022b + \frac{{{{\left( {c - a} \right)}^2}}}{2}} \le \frac{{1011 + b}}{{\sqrt 2 }}\]
\[\sqrt {2022c + \frac{{{{\left( {c - b} \right)}^2}}}{2}} \le \frac{{1011 + c}}{{\sqrt 2 }}\]
\[\sqrt {2022a + \frac{{{{\left( {b - c} \right)}^2}}}{2}} + \sqrt {2022b + \frac{{{{\left( {c - a} \right)}^2}}}{2}} + \sqrt {2022c + \frac{{{{\left( {a - b} \right)}^2}}}{2}} \le \frac{{3.1011 + a + b + c}}{{\sqrt 2 }}\]
Þ\[\sqrt {2022a + \frac{{{{\left( {b - c} \right)}^2}}}{2}} + \sqrt {2022b + \frac{{{{\left( {c - a} \right)}^2}}}{2}} + \sqrt {2022c + \frac{{{{\left( {a - b} \right)}^2}}}{2}} \le \frac{{4.1011}}{{\sqrt 2 }} = 2022\sqrt 2 \]
Dấu = xảy ra Û \[\left\{ \begin{array}{l}a + b + c = 1011\\ab = bc = ca = 0\end{array} \right.\]
(Khi trong ba số \(a,\,b,\,c\) có một số bằng 1011 và hai số bằng 0).
Hot: 1000+ Đề thi giữa kì 2 file word cấu trúc mới 2026 Toán, Văn, Anh... lớp 1-12 (chỉ từ 60k). Tải ngay
Sách thầy cô Vietjack biên soạn:
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Lời giải
1. Giải phương trình \({x^2} + 2x - 15 = 0.\)
\(\Delta ' = 1 + 15 = 16 > 0\) .
Phương trình có hai nghiệm phân biệt
\({x_1} = - 1 + \sqrt {16} = 3\) .
\({x_2} = - 1 - \sqrt {16} = - 5\).
2. Giải hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}x\left( {4 - 2y} \right) = 7 + y - 2xy\\2x - 14 = 2\left( {y - 3} \right)\end{array} \right..\)
\(\left\{ \begin{array}{l}x\left( {4 - 2y} \right) = 7 + y - 2xy\\2x - 14 = 2\left( {y - 3} \right)\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}4x - y = 7\\2x - 2y = 8\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}4x - y = 7\\x - y = 4\end{array} \right.\).
\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}3x = 3\\x - y = 4\end{array} \right.\).
\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 1\\y = - 3\end{array} \right.\)
Vậy hệ phương trình có nghiệm \(\left( {x;y} \right) = \left( {1; - 3} \right)\).
Lời giải
1.Rút gọn biểu thức \(A = 2\sqrt 3 - 3\sqrt {27} + 7\sqrt {7 + 4\sqrt 3 } .\)
\(A = 2\sqrt 3 - 9\sqrt 3 + 7\sqrt {{{\left( {2 + \sqrt 3 } \right)}^2}} \)
\(A = 2\sqrt 3 - 9\sqrt 3 + 7\left( {2 + \sqrt 3 } \right)\)
\(A = 14\)
2. Cho biểu thức \(P = \frac{1}{{2\sqrt x - 4}} - \frac{1}{{2\sqrt x + 4}} + \frac{{\sqrt x }}{{x - 4}}\) (với \(x \ge 0,\,x \ne 4\) ).
a) Rút gọn biểu thức \(P.\)
\(P = \frac{8}{{4x - 16}} + \frac{{\sqrt x }}{{x - 4}}\)
\(P = \frac{{\sqrt x + 2}}{{x - 4}} = \frac{1}{{\sqrt x - 2}}\)
b) Tìm tất cả các số nguyên \(x\) để \(P\) đạt giá trị nguyên.
\(P\) đạt giá trị nguyên \( \Leftrightarrow \sqrt x - 2 = \pm 1\)
\(\sqrt x - 2 = 1 \Leftrightarrow \sqrt x = 3 \Leftrightarrow x = 9\)(thỏa mãn điều kiện \(x \ge 0,\,x \ne 4\)).
\(\sqrt x - 2 = - 1 \Leftrightarrow \sqrt x = 1 \Leftrightarrow x = 1\)(thỏa mãn điều kiện \(x \ge 0,\,x \ne 4\)).
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Nhắn tin Zalo
Hỏi bài tập