Trong mặt phẳng tọa độ \(Oxy,\) cho parabol \((P)\,\) có phương trình \(y = {x^2}\),  đường thẳng \((d)\) có phương trình \(y = 2x + {m^2} - 4m + 9\) (với \(m\) là tham số) và đường thẳng \(\left( \Delta  \right)\) có phương trình \(y = \left( {a - 3} \right)x + 4\) (với \(a\) là tham số).

1. Tìm \(a\) để đường thẳng \((d)\) và đường thẳng \(\left( \Delta  \right)\) vuông góc với nhau.

2. Chứng minh đường thẳng \((d)\)luôn cắt parabol \((P)\,\)tại hai điểm phân biệt \(A,\,B\) với mọi \(m\).  Gọi \(A\left( {{x_1};{y_1}} \right),\,B\left( {{x_2};{y_2}} \right)\) (với \({x_1} < {x_2}\)), tìm tất cả các giá trị của tham số \(m\) sao cho \(\left| {{x_1} - 2023} \right| - \left| {{x_2} + 2023} \right| = {y_1} + {y_2} - 48.\)  

1.  Giải phương trình \({x^2} + 2x - 15 = 0.\)

\(\Delta ' = 1 + 15 = 16 > 0\) .

Phương trình có hai nghiệm phân biệt

\({x_1} =  - 1 + \sqrt {16}  = 3\) .

\({x_2} =  - 1 - \sqrt {16}  =  - 5\).

2.  Giải hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}x\left( {4 - 2y} \right) = 7 + y - 2xy\\2x - 14 = 2\left( {y - 3} \right)\end{array} \right..\)

\(\left\{ \begin{array}{l}x\left( {4 - 2y} \right) = 7 + y - 2xy\\2x - 14 = 2\left( {y - 3} \right)\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}4x - y = 7\\2x - 2y = 8\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}4x - y = 7\\x - y = 4\end{array} \right.\).

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}3x = 3\\x - y = 4\end{array} \right.\).

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 1\\y =  - 3\end{array} \right.\)

Vậy hệ phương trình có nghiệm \(\left( {x;y} \right) = \left( {1; - 3} \right)\).

1.\(DC \bot AD \Rightarrow \widehat {ADC} = 90^\circ \) .

\(AE \bot EC \Rightarrow \widehat {AEC} = 90^\circ \).

\(\widehat {ADC} + \widehat {AEC} = 180^\circ \).

\( \Rightarrow \) Tứ giác \(AECD\) nội tiếp đường tròn..

2.Tứ giác \(AECD\) nội tiếp \( \Rightarrow \widehat {CDE} = \widehat {CAE}.\).

\(\widehat {CDB} + \widehat {CFB} = 180^\circ  \Rightarrow \)Tứ giác \(CDBF\) nội tiếp \( \Rightarrow \widehat {CFD} = \widehat {CBD}.\).

Mà \(\widehat {CBD} = \widehat {CAE}\) ( Cùng chắn cung \(AC\) ).

\( \Rightarrow \widehat {CDE} = \widehat {CFD}.\).

3.Tứ giác \(CDBF\) nội tiếp \( \Rightarrow \widehat {CFD} = \widehat {CBD}.\)

\(\widehat {CDE} = \widehat {CFD}\)(Chứng minh trên)

\( \Rightarrow \) \(\widehat {CDE} = \widehat {CBD}\) hay \(\widehat {CDI} = \widehat {CBA}\,\left( 1 \right)\)

Tứ giác \(CDBF\) nội tiếp \(\widehat {CDF} = \widehat {CBF}\)

Mà \(\widehat {CBF} = \widehat {CAB}\) (Cùng chắn cung \(BC\))

 \( \Rightarrow \widehat {CDK} = \widehat {CAB}\,\left( 2 \right)\).

Từ \(\left( 1 \right),\,\left( 2 \right) \Rightarrow \widehat {ICK} + \widehat {IDK} = \widehat {ICK} + \widehat {IDC} + \widehat {CDK}\)=\(\widehat {ACB} + \widehat {CBA} + \widehat {CAB} = {180^0}\)

\( \Rightarrow \) Tứ giác \(CIDK\) nội tiếp.

Suy ra \(\widehat {CIK} = \widehat {CDK}\)

Mà  \(\widehat {CDK} = \widehat {CAB}\,\)(Chứng minh trên)

\( \Rightarrow \widehat {CIK} = \widehat {CAB}\).

\( \Rightarrow IK\) //\(AB\)

Mà \(CD \bot AB \Rightarrow CD \bot IK.\).

4.Gọi \(NC\) cắt \(IK,\,AB\) lần lượt tại \(P,\,Q\)

\(\widehat {CIK} = \widehat {CAB}\) (Chứng minh trên).

Tứ giác \(AECD\) nội tiếp đường tròn \( \Rightarrow \widehat {CAD} = \widehat {CED}\) hay \(\widehat {CAB} = \widehat {CEI}\)

\( \Rightarrow \widehat {CEI} = \widehat {CIK}\)

\( \Rightarrow IK\) là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp tam giác \(CIE\)

Chứng minh tương tự: \(IK\) là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp tam giác \(CKF\) .

Xét hai tam giác \(PIC,\,PNI\) có

\(\widehat {IPN}\) chung, \(\widehat {PIC} = \widehat {PNI}\) (cùng chắn cung \(IC\))

 .

\( \Rightarrow \frac{{PI}}{{PN}} = \frac{{PC}}{{PI}} \Rightarrow P{I^2} = PC.PN\)

Chứng minh tương tự: \(P{K^2} = PC.PN\)

Vậy \(PI = PK\) .

\(IK\) // \(AB\) \( \Rightarrow \frac{{IP}}{{AQ}} = \frac{{CP}}{{CQ}} = \frac{{PK}}{{QB}}\)

Mà \(PI = PK \Rightarrow AQ = QB\)

Hay \(Q\) là trung điểm của \(AB\) .