Trong mặt phẳng tọa độ \(Oxy,\) cho parabol \((P)\,\) có phương trình \(y = {x^2}\),  đường thẳng \((d)\) có phương trình \(y = 2x + {m^2} - 4m + 9\) (với \(m\) là tham số) và đường thẳng \(\left( \Delta  \right)\) có phương trình \(y = \left( {a - 3} \right)x + 4\) (với \(a\) là tham số).

1. Tìm \(a\) để đường thẳng \((d)\) và đường thẳng \(\left( \Delta  \right)\) vuông góc với nhau.

2. Chứng minh đường thẳng \((d)\)luôn cắt parabol \((P)\,\)tại hai điểm phân biệt \(A,\,B\) với mọi \(m\).  Gọi \(A\left( {{x_1};{y_1}} \right),\,B\left( {{x_2};{y_2}} \right)\) (với \({x_1} < {x_2}\)), tìm tất cả các giá trị của tham số \(m\) sao cho \(\left| {{x_1} - 2023} \right| - \left| {{x_2} + 2023} \right| = {y_1} + {y_2} - 48.\)  

Ta có:

\[\sqrt {2022a + \frac{{{{\left( {b - c} \right)}^2}}}{2}}  = \sqrt {2022a + \frac{{{{\left( {b + c} \right)}^2}}}{2} - 2bc}  \le \sqrt {2022a + \frac{{{{\left( {b + c} \right)}^2}}}{2}} \]  (vì bc ≥ 0)

Þ \[\sqrt {2022a + \frac{{{{\left( {b - c} \right)}^2}}}{2}}  \le \sqrt {2022a + \frac{{{{\left( {1011 - a} \right)}^2}}}{2}} \]

Þ \[\sqrt {2022a + \frac{{{{\left( {b - c} \right)}^2}}}{2}}  \le \sqrt {\frac{{{{\left( {1011 + a} \right)}^2}}}{2}} \]

Þ \[\sqrt {2022a + \frac{{{{\left( {b - c} \right)}^2}}}{2}}  \le \frac{{1011 + a}}{{\sqrt 2 }}\]  dấu = xảy ra  Û \[\left\{ \begin{array}{l}bc = 0\\a + b + c = 1011\end{array} \right.\]

Tương tự:      \[\sqrt {2022b + \frac{{{{\left( {c - a} \right)}^2}}}{2}}  \le \frac{{1011 + b}}{{\sqrt 2 }}\]

                     \[\sqrt {2022c + \frac{{{{\left( {c - b} \right)}^2}}}{2}}  \le \frac{{1011 + c}}{{\sqrt 2 }}\]       

\[\sqrt {2022a + \frac{{{{\left( {b - c} \right)}^2}}}{2}}  + \sqrt {2022b + \frac{{{{\left( {c - a} \right)}^2}}}{2}}  + \sqrt {2022c + \frac{{{{\left( {a - b} \right)}^2}}}{2}}  \le \frac{{3.1011 + a + b + c}}{{\sqrt 2 }}\]

Þ\[\sqrt {2022a + \frac{{{{\left( {b - c} \right)}^2}}}{2}}  + \sqrt {2022b + \frac{{{{\left( {c - a} \right)}^2}}}{2}}  + \sqrt {2022c + \frac{{{{\left( {a - b} \right)}^2}}}{2}}  \le \frac{{4.1011}}{{\sqrt 2 }} = 2022\sqrt 2 \]

Dấu = xảy ra Û \[\left\{ \begin{array}{l}a + b + c = 1011\\ab = bc = ca = 0\end{array} \right.\]

(Khi trong ba số \(a,\,b,\,c\) có một số bằng 1011 và hai số bằng 0).

1.  Giải phương trình \({x^2} + 2x - 15 = 0.\)

\(\Delta ' = 1 + 15 = 16 > 0\) .

Phương trình có hai nghiệm phân biệt

\({x_1} =  - 1 + \sqrt {16}  = 3\) .

\({x_2} =  - 1 - \sqrt {16}  =  - 5\).

2.  Giải hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}x\left( {4 - 2y} \right) = 7 + y - 2xy\\2x - 14 = 2\left( {y - 3} \right)\end{array} \right..\)

\(\left\{ \begin{array}{l}x\left( {4 - 2y} \right) = 7 + y - 2xy\\2x - 14 = 2\left( {y - 3} \right)\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}4x - y = 7\\2x - 2y = 8\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}4x - y = 7\\x - y = 4\end{array} \right.\).

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}3x = 3\\x - y = 4\end{array} \right.\).

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 1\\y =  - 3\end{array} \right.\)

Vậy hệ phương trình có nghiệm \(\left( {x;y} \right) = \left( {1; - 3} \right)\).