Trong mặt phẳng tọa độ \(Oxy,\) cho parabol \((P)\,\) có phương trình \(y = {x^2}\),  đường thẳng \((d)\) có phương trình \(y = 2x + {m^2} - 4m + 9\) (với \(m\) là tham số) và đường thẳng \(\left( \Delta  \right)\) có phương trình \(y = \left( {a - 3} \right)x + 4\) (với \(a\) là tham số).

1. Tìm \(a\) để đường thẳng \((d)\) và đường thẳng \(\left( \Delta  \right)\) vuông góc với nhau.

2. Chứng minh đường thẳng \((d)\)luôn cắt parabol \((P)\,\)tại hai điểm phân biệt \(A,\,B\) với mọi \(m\).  Gọi \(A\left( {{x_1};{y_1}} \right),\,B\left( {{x_2};{y_2}} \right)\) (với \({x_1} < {x_2}\)), tìm tất cả các giá trị của tham số \(m\) sao cho \(\left| {{x_1} - 2023} \right| - \left| {{x_2} + 2023} \right| = {y_1} + {y_2} - 48.\)  

1.  Giải phương trình \({x^2} + 2x - 15 = 0.\)

\(\Delta ' = 1 + 15 = 16 > 0\) .

Phương trình có hai nghiệm phân biệt

\({x_1} =  - 1 + \sqrt {16}  = 3\) .

\({x_2} =  - 1 - \sqrt {16}  =  - 5\).

2.  Giải hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}x\left( {4 - 2y} \right) = 7 + y - 2xy\\2x - 14 = 2\left( {y - 3} \right)\end{array} \right..\)

\(\left\{ \begin{array}{l}x\left( {4 - 2y} \right) = 7 + y - 2xy\\2x - 14 = 2\left( {y - 3} \right)\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}4x - y = 7\\2x - 2y = 8\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}4x - y = 7\\x - y = 4\end{array} \right.\).

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}3x = 3\\x - y = 4\end{array} \right.\).

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 1\\y =  - 3\end{array} \right.\)

Vậy hệ phương trình có nghiệm \(\left( {x;y} \right) = \left( {1; - 3} \right)\).

1.Rút gọn biểu thức \(A = 2\sqrt 3  - 3\sqrt {27}  + 7\sqrt {7 + 4\sqrt 3 } .\)

\(A = 2\sqrt 3  - 9\sqrt 3  + 7\sqrt {{{\left( {2 + \sqrt 3 } \right)}^2}} \)

\(A = 2\sqrt 3  - 9\sqrt 3  + 7\left( {2 + \sqrt 3 } \right)\)

\(A = 14\)

2.  Cho biểu thức \(P = \frac{1}{{2\sqrt x  - 4}} - \frac{1}{{2\sqrt x  + 4}} + \frac{{\sqrt x }}{{x - 4}}\) (với \(x \ge 0,\,x \ne 4\) ).

a) Rút gọn biểu thức \(P.\)

\(P = \frac{8}{{4x - 16}} + \frac{{\sqrt x }}{{x - 4}}\)

\(P = \frac{{\sqrt x  + 2}}{{x - 4}} = \frac{1}{{\sqrt x  - 2}}\)

b) Tìm tất cả các số nguyên \(x\) để \(P\) đạt giá trị nguyên.

\(P\) đạt giá trị nguyên \( \Leftrightarrow \sqrt x  - 2 =  \pm 1\)

\(\sqrt x  - 2 = 1 \Leftrightarrow \sqrt x  = 3 \Leftrightarrow x = 9\)(thỏa mãn điều kiện \(x \ge 0,\,x \ne 4\)).

\(\sqrt x  - 2 =  - 1 \Leftrightarrow \sqrt x  = 1 \Leftrightarrow x = 1\)(thỏa mãn điều kiện \(x \ge 0,\,x \ne 4\)).